L’ultimo Teorema di Fermat
lunedì 25 settembre 2006Pierre de Fermat fu un matematico – spesso indicato come dilettante, nel senso che non esercitava da proferssionista riconosciuto, al tempo – che deve la sua notorietà al grande pubblico ad un teorema (l’ultimo, appunto – indicato con UTF) che non dimostrò mai. Lasciò, infatti, scritto: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”.
Questa memorabile “indicazione” ha tormentato i matematici di mezzo mondo per oltre 300 anni!
Finalmente nel 1995, dopo vari falsi allarmi di una soluzoine disseminati nei secoli, Andrew Wiles, un professore di matematica britannico, dopo aver dedicato una vita intera alla soluzione di questo “mistero”, riuscì alla fine nell’ardua impresa di dimostrare l’ultimo teorema di Fermat.
Nessuno qui vuole mettere in dubbio la dimostrazione di Wiles, oggi ufficialmente riconosciuta dall’establishment matematico, nonchè citata nella maggior parte dei testi del settore. Vorrei invece porre all’attenzione due espetti imprtanti che riguardano questa vicenda:
- La dimostrazione di Wiles utilizza strumenti matematici di ultima generazione, certamente sconosciuti al simpatico Fermat
- Il prof. Andra Ossicini, un matematico italiano, da tempo rivendica quantomeno l’attenzione sulla sua dimostrazione dell’UTF. Dimostrazione che si ispira più a Eulero e alle conoscenze dell’epoca che a strane curve ellittiche!
In praticolare siamo certi che un teorema possa essere dimostrato in più modi, e quindi ribadisco che non si mette in dubbio l’autenticità della dimostrazione di Wiles.
Quello che invece è triste, se non sconcertante, è il silenzio assoluto sull’opera del prof. Andrea Ossicini.
Chiamatelo appello, se volete, ma lascia comunque da pensare!
7 novembre 2007 alle 05:41
Molte grazie per avermi suggerito l’estensione di un teorema di Riemann!
7 novembre 2007 alle 10:18
@Anonimo: è stato un piacere
1 febbraio 2008 alle 07:53
E’ bello vedere che con il tempo le tue passioni continuino ad esistere.Sei forte.
22 novembre 2009 alle 11:11
Piergiorgio Malaguti Dice: Il tuo commento è in attesa di moderazione
Novembre 22, 2009 alle 10:53 am | Replica
L’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT IL TEOREMA DI GALOIS E ILTEOREMA MIRABILIS DI GALLO
Le matematiche pongono spesso sullo stesso piano (in questo caso quello algebrico) teorie rivoluzionarie. Nel caso specifico (algebrico): la Teoria di E.Galois e la TTIE (Teoria delle Trasformazioni delle Identità in Equazioni, 1989)di O. Gallo. E’ però anche vero che, in generale, in matematica sembra che valga il seguente principio paradossale: più grandi e innovative sono le teorie rivoluzionarie, più esse sono incomprensibili ai soliti “Cauchy e Poisson” di turno e osteggiate dai loro contemporanei. Ma è altrettanto vero che mai nessuno di costoro è passato alla storia per aver favorito il progresso: delle matematiche; cosa che capitò, oltre che al genio incompreso di Galois, persino allo stesso K.F. Gauss, solo in seguito definito ipocritamente princeps matheamaticorun. Infatti non fu per puro caso se Gauss decise di ritardare la diffusione delle sue scoperte in matematica e di pubblicare “pauca, sed matura” in risposta al rifiuto opposto da parte dell’Académie Royale de Paris all’ accettazione della sua opera più nota in Teoria dei Numeri, le “Disquisitiones Arithemeticae” , pubblicata a sue spese più tardi (1801)…La matematica è una strana scienza che spesso, oltre a non dare a Cesare quel che è di Cesare , spesso, quasi per un perverso capriccio della sorte, accade che quasi perfidamente il caso (per ritardare il progresso umano?) ponga,come si è verificato in vari momenti della Storia delle Mateamtiche, nelle mani sbagliate armi affilatissime di distruzione istantanea di cultura perenne. I “nuovi Cauchy” e i ” nuovi Poisson” dei nostri tempi ( paradossalmente in nome di un diffuso e diabolico Principio di Conservazione dell’Ignoranza o Principio di Conservazione delle Cattedre Universitarie?) attendono al varco il sorgere di ogni idea innovativa e creativa in campo matematico.
Anche se le armi che brandiscono i nuovi censori dei nostri tempi dislocati nei più impensabili centri di ricerca ( sic!) , ma anche sul web, dove spesso vige un libera dittatura democratica ( di gran voga agli inizi del Terzo Millennio anche in vari paesi democratici del globo terracqueo), da un momento all’altro. inesorabilmente il tempo finisce per incenerire totalmente destinando i loro possessori e le loro effimere censure all’oblio perenne.
Nessuna grande teoria rivoluzionaria in campo matematico sembra abbia mai fatto eccezione in tal senso, soprattutto se opera di un non accademico, quali furono Archimede, Fermat, Abel, Galois …..e qual è lo stesso Onofrio Gallo, autore di un teorema universale (il Teorema Mirabilis di Gallo) che intender non lo può/ chi non lo prova., il quale contiene sia l’Ultimo Teorema di Fermat ( caso diofanteo) sia il Teorema di Galois sui gruppi risolubili (caso algebrico) e che per molti accademici costituisce un gigantesco rospo che è difficile mandar giù d’un solo colpo! Historia non docet?
Aggiornatevi! That’s All Folks!
Piergiorgio Malaguti
22 novembre 2009 alle 11:43
TEOREMA MIRABILIS DI GALLO E ULTIMO TEORMA DI FERMAT
“Pertanto risulterebbe certamente incompleto e , ancor prima di essere pubblicato,qualsiasi libro sull’UTF che non tenesse nel debito conto il TEOREMA MIRABILIS DI GALLO (27 dic. 1993, Roma),
il primo teorema in assoluto che contiene l’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (UTF) come caso particolare delle equazioni diofantee ax^r+by^s =cz^t (per a=b=c=1 ed r=s=t=n)e che a livello generale in modo “originale e diretto” la validità della Congettura di Fermat. Per non dire delle numerosissime applicazioni che lo stesso TEOREMA MIRABILIS DI GALLO consente di effettuare nel campo delle equazioni diofantee, tra cui la risoluzione di numerosi problemi diofantei ritenuti ancora oggi “impossibili”dagli studiosi.
Tra i più semplici citiamo: il calcolo di due lati un triangolo numerico o pitagorico noto solo il terzo lato (senza tentativi, senza radicali e senza l’uso delle frazioni continue), compresi alcuni problemi diofantei affronatati da Ramanujan con l’uso delle frazioni continue (Problema di Strand, somme delle serie divergenti eta e teta, soluzione di equazioni diofantee di tipo polinomiale a due incognite, nelle quali rientrano anche il calcolo delle quaterne di Ramanujan “In quanti modi il numero “del taxi di Hardy” 1729 può esprimersi come somma di due cubi?” ecc)” .
E’ quanto ha osservato il matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946)che ha depositato presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere (Oslo, 2004) sia il suo TEOREMA MIRABILIS sia le sue contenute nella sua memoria: New “Disquisitiones” On The Number Theory. A cura di U. Esposito.
16 dicembre 2009 alle 00:13
VEDI anche
Giovanni Imbalzano’s Storefront:
http://stores.lulu.com/jmbalzan
Estensione dei teoremi di Fermat (libro)
16 dicembre 2009 alle 00:14
@Prof. Giovanni Imbalzano:
OK!
29 gennaio 2010 alle 21:09
EQUAZIONI DI FERMAT- PELL E TEOREMA FPG DI GALLO
In margine alle ricerche sulla dimostrazione diretta dell’UTF, Onofrio Gallo ha affrontato in modo originale anche lo studio delle equazioni Generalizzate di Fermat-Pell che sono del tipo y^k-Nx^k=1, con k>2.
La risoluzione dell’equazione di Fermat Pell (FP/N) y^2-Nx^2=1 ( N intero >0 e non quadrato perfetto)com’è noto si può otteenere mediante le classiche formule del matematico indiano Baskhara II, date da xr+1 = xr y1 +yr ed yr+1 = yry1 +Nxr con r (pedice) intero ≥0 o in modo equivalente mediante le seguenti Formule di Gallo, date da :
x^2= t/(1+N ) ed y^2= ((1+N)+Nt)/(1+N ), con t (intero >0) =x^2+y^2-1= (q^2)(N+1)^2 divisibile per (1+N), e tale che tk+2= (tk+1 – 9)^/ tk con k intero positivo >1, essendo q intero anche nullo.
Esempio numerico. Risolvere la (FP/8) y^2-8x^2=1. Mediante le Formule di Baskhara II, date da xr+1 = xr y1 +yr ed yr+1 = yry1 +Nxr, si ottengono le stesse soluzioni che si ottengono con le Formule di Gallo x^2= t/(1+N ) ed y^2= ((1+N)+Nt)/(1+N ), non considerando la soluzione banale (x, y)=(0, 1), date dalle:
(x1,y1,r1, t1) = (1 ,3 ,0, 9) ; (x, y, r2, t2) = ( 6, 17, 1 ,324) ; (x3, y3, r3, t3) = ( 35, 99 , 2 ,11025); (x4, y4, r4, t4) = ( 204, 577, 3, 374 544); (x5, y5, r5, t5) = (1189, 3363 , 4, 12 728 489); (x6, y6, r6, t6 = (6930, 10601, 5 , 432 224 100), ecc.
Tuttavia con tali formule la convergenza ad un valore approssimato di√8 dell’ordine di 10exp -9 è alquanto lenta richiedendo almeno sette passi per ottenere il valore il valore approssimato cercato dato dalla frazione razionale y7/x7=2,828427125. Dunque il metodo di Bhaskara II o le Formule di Gallo consentono di trovare il valore cercato di √8= 2, 828 427 125 dopo il calcolo di sette soluzioni della (FP/8). Si può fare di meglio? Si, se si ricorre al Teorema FPG/N di Gallo ( risalente al 1994), relativo alle equazioni k- diofantee di Gallo , che sono espresse da equazioni diofantee del tipo (FPG/N) beta^k -N alfa^k = c ( con c intero ed N intero positivo e non potenza k-ma di alcun intero positivo) di grado k >2, delle quali si cercano le soluzioni minime intere positive di Gallo (alfa , beta), tali che si abbia: beta/alfa = N^(1/k) ; e, nel caso k=2, se (x,y) è una soluzione di (FP/N) y^2-Nx^2 =1 tale che y/x= √N, allora, per il Teorema FPG , risulta beta/alfa = y/x= √N, anche se, in generale, risulta (alfa , beta)≠ (x,y). Mediante tale teorema applicato alla stessa equazione (FP/8), al primo passo, si trova la la prima soluzione di Gallo che è anche la soluzione minima intera positiva:
( alfa1 , beta1) = ( 939 524 096, 2 657 375 437) che approssima √8 con il valore beta/ alfa = 2, 828427124 = y6/x6, mentre la soluzione successiva di Gallo è ( alfa 2 , beta2) = ( 7 516 192 768, 21 259 003 500) che approssima √8 con il valore cercato beta2/ alfa2= 2, 828427124 = y7/x7.
Dunque in soli due passi (Metodo di Gallo) , in luogo di sette passi (Metodo di Bhaskara II), si ottiene un’approssimazione con nove cifre decimale esatte di √8.
In generale mediante il Teorema FPG di Gallo, applicato alla (FP/N), caso k=2,è possibile calcolare immediatamente le soluzioni minime intere positive, ignote non solo ai vari Fermat, Lagrange, Eulero ed altri, ma anche ai matematici odierni, come, ad esempio, le soluzioni minime intere positive delle due equazioni proposte da Fermat a Frénicle per corrispondenza nel 1657, come riportò il matematico francese A. Weil nel libro Number Theory ( tr, it. Teoria dei Numeri , Ed. Einaudi, 1993, pp. 89-90), il quale da parte sua, come Dickson, non aggiunse una virgola su tale argomento a quanto già noto.
Pertanto, alla luce di quanto esposto, sembra che il creato intorno a matematici come Fermat, Lagrange, Eulero, e al metodo di Bhaskara II (114-1185), il Maestro,detto metodo Jaeyadeva-Bhaskara o metodo cavrakala o ciclico o metodo della ruota(cavra significa ruota) o metodo Kuttaka ( dal verbo kutt = schiacciare, tritare, macinare, polverizzare, che i Cinesi chiamavano “ Ta yen”), sia destinato a tramontare.
Le equazioni proposte da Fermat erano relative , dice Weil nel suo Number Theory (tr.it. Teoria dei Numeri, Einaudi,1993, pp.89-90):
“…ai casi N=61 e N=109, aggiungendo (in modo fuorviante, e forse con malizia) di avere scelto numeri abbastanza piccoli ( ); egli doveva sapere, naturalmente, che le più piccole soluzioni di questi due casi sono rispettivamente:
(1 766 319 049, 226 153 980) e (158 070 671 986 249, 15 140 424 455 100) e proprio per questa ragione scelse i valori 61 e 109”. Per dare un’idea della potenza applicativa del Teorema FPG di Gallo, il matematico Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, in Valle Caudina) nel suo Codex Cervinarensis riporta le seguenti soluzioni minime delle seguenti equazioni generalizzate di Ferrmat –Pell. calcolate con l e corrispondenti frazioni razionali di Gallo (beta/alfa) ottenute come soluzioni di Gallo delle equazioni k-diofantee di Gallo:
per N= 401, (FP/401) y^2-401x^2 =1, soluzione minima di Gallo beta/alfa =312 343 639/15 597 697 =√401=16, 031 219 54; per N=61 (FP/61) y^5-61x^5 =1, soluzione minima di Gallo beta/alfa =20 844 608 069/916 132 832 per cui 61^(1/5)=2, 275 443 032; per N =7 (FP/7) y^6- 7x^6 =1, soluzione minima di Gallo beta/alfa =3 764 363 347/2 951 578 712 per cui 7^(1/6)=1,275 373 107 per limitarci solo ad alcuni degli innumerevoli riportati nell’opera citata. Il calcolo delle soluzioni minime delle Equazioni Generalizzate di Fermat -Pell di grado superiore al secondo (k>2) era sconosciuto prima della nascita del Torema FPG di Gallo. A cura di Umberto Esposito.
1 febbraio 2010 alle 21:34
IL PROBLEMA DI STRAND: Un’ APPLICAZIONE DEL TEOREMA MIRABILIS DI GALLO Le ricerche che condussero il matematico Onofrio Gallo alla prima (1993) originalissima dimostrazione diretta dell’Ultimo Teorema di Fermat condussero, com’ è noto, lo stesso autore a scoprire sia il Teorema Mirabilis relativo alla equazione di Fermat (F) x^n +y^n=z^2 (n>2) sia alla sua generalizzazione alle equazioni diofantee del tipo (FF) (F) ax^r+by^s=z^t (r,s,t interi positivi >2). Il famoso Problema di Strand, risolto da Ramanujan, ancora una volta, con l’uso delle frazioni continue è rappresentato dall’equazione diofantea non lineare (S) 2x^ 2+4x-y ^2-y=-2
che è un caso particolare dell’equazione generale di Gallo (SG) 2x^2 – y^2 + 4x- y = m^2 – m – 2 (m=0) che risolve tale categoria di problemi relativi ad un numero naturale non nullo n variabile nell’intervallo discreto finito dei naturali (1, r), in modo che la somma dei numeri alla sinistra di n risulti uguale alla somma dei numeri posti alla destra di n:
L’ equazione (S) si risolve con l’uso del Teorema Mirabilis di Gallo, come mostreremo subito, senza radicali, senza tentativi e senza l’uso delle frazioni continue, usando le due Funzioni Generali di Simmetria di Gallo di gradi 2 ed 1 rispetto ad x ed y:
FF(x,y) = (-2-2(2×2+4x-y ^2-y)) ( a meno di un fattore inessenziale, omesso per maggior chiarezza), , da cui si ottengono le due sottofunzioni di simmetria di Gallo per x=x j, cioè:
F(x h) =i h = (-2-2(2x h^2+4x h))
F(yk) = i k =(-2-2( -yk^ 2-y k))
Le soluzioni dell’equazione (S) sono le xh e le yk, tali che
F(xh ) = -F(yk ) ( h e k sono pedici)
Siccome le x j variano tra 51 e 499 , per x h = 203, essendo F(203)= -166462 e, per y k=288, essendo F(288)= +166462, ne segue che la soluzione del problema è x+1=203+1=204.
Ma qual era il Problema di Strand, rappresentato dalla (S)?
Il numero di dicembre 1914 della rivista STRAND riportava uno strano problema che un amico indiano di Ramanujan, un certo P.C. Mahalanobis stava cercando di risolvere, seduto con la rivista a un tavolo dell’appartamento del grande matematico indiano a Cambridge, dove lavorava insieme a G.H.Hardy e J. Littlewood.
Tra tentativi ed errori, dopo alcuni minuti, Mahalanobis riuscì a risolvere il problema col quale era alle prese.
Letto il testo del problema a Ramanujan, questi ne dettò subito la soluzione all’amico sbalordito: l’aveva ottenuta con le frazioni continue. Ed ecco il problema:
“ L’altro giorno, diceva un tale W.Rogers agli altri abitanti del villaggio raccolti intorno al fuoco, stavo parlando con un
gentiluomo di Leuven (Lovanio, in Belgio), che i tedeschi hanno dato alle fiamme.
Diceva di conoscerlo bene, quel luogo…Ci andava a trovare un amico belga.
Disse che la casa dell’amico era in una lunga strada, le cui case su quel lato della strada erano numerate 1,2,3,..e così via.Disse che la somma di tutti i numeri su un lato (a sinistra) di casa sua dava esattamente lo stesso risultato della somma di tutti i numeri sull’altro lato della strada ( a destra) di casa sua.
Che cosa strana! Disse di sapere che c’erano più di 50, ma meno di 500 case su quel lato della strada.
Ho parlato della cosa con il nostro parroco e lui ha preso un lapis e ha trovato il numero civico della casa in cui viveva il belga.Non so come abbia fatto”
Indicando con …51, 52,…,x, (x+1), (x+2),…,y,……….,499
la successione dei numeri civici tra i quali si trova la soluzione x+1, basta imporre l’uguaglianza:
(1+x)x/2= (x+2+ y)[y –(x+1)]/2.
Da cui si ottiene la risolvente (S), che si risolve come indicato.
Il problema è stato risolto, per la prima volta senza l’uso delle frazioni continue o delle equazioni di Pell, unicamente “ per simmetria”, dal matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, in Valle Caudina)e contenuto nel suo CODEX CERVINARENSIS. cura di Umberto Esposito
Scritto da : umberto esposito | 27/12/2009
Il Problema di Strand
Il famoso Problema di Strand, risolto da Ramanujan, ancora una volta, con l’uso delle frazioni continue è rappresentato dall’equazione diofantea non lineare (S) 2x^ 2+4x-y ^2-y=-2
che è un caso particolare dell’equazione generale di Gallo (SG) 2x^2 – y^2 + 4x- y = m^2 – m – 2 (m=0) che risolve tale categoria di problemi relativi ad un numero naturale non nullo n variabile nell’intervallo discreto finito dei naturali (1, r), in modo che la somma dei numeri alla sinistra di n risulti uguale alla somma dei numeri posti alla destra di n:
L’ equazione (S) si risolve con l’uso del Teorema Mirabilis di Gallo, come mostreremo subito, senza radicali, senza tentativi e senza l’uso delle frazioni continue, usando le due Funzioni Generali di Simmetria di Gallo di gradi 2 ed 1 rispetto ad x ed y:
FF(x,y) = (-2-2(2×2+4x-y ^2-y)) ( a meno di un fattore inessenziale, omesso per maggior chiarezza), , da cui si ottengono le due sottofunzioni di simmetria di Gallo per x=x j, cioè:
F(x h) =i h = (-2-2(2x h^2+4x h))
F(yk) = i k =(-2-2( -yk^ 2-y k))
Le soluzioni dell’equazione (S) sono le xh e le yk, tali che
F(xh ) = -F(yk ) ( h e k sono pedici)
Siccome le x j variano tra 51 e 499 , per x h = 203, essendo F(203)= -166462 e, per y k=288, essendo F(288)= +166462, ne segue che la soluzione del problema è x+1=203+1=204.
Ma qual era il Problema di Strand, rappresentato dalla (S)?
Il numero di dicembre 1914 della rivista STRAND riportava uno strano problema che un amico indiano di Ramanujan, un certo P.C. Mahalanobis stava cercando di risolvere, seduto con la rivista a un tavolo dell’appartamento del grande matematico indiano a Cambridge, dove lavorava insieme a G.H.Hardy e J. Littlewood.
Tra tentativi ed errori, dopo alcuni minuti, Mahalanobis riuscì a risolvere il problema col quale era alle prese.
Letto il testo del problema a Ramanujan, questi ne dettò subito la soluzione all’amico sbalordito: l’aveva ottenuta con le frazioni continue. Ed ecco il problema:
“ L’altro giorno, diceva un tale W.Rogers agli altri abitanti del villaggio raccolti intorno al fuoco, stavo parlando con un
gentiluomo di Leuven (Lovanio, in Belgio), che i tedeschi hanno dato alle fiamme.
Diceva di conoscerlo bene, quel luogo…Ci andava a trovare un amico belga.
Disse che la casa dell’amico era in una lunga strada, le cui case su quel lato della strada erano numerate 1,2,3,..e così via.Disse che la somma di tutti i numeri su un lato (a sinistra) di casa sua dava esattamente lo stesso risultato della somma di tutti i numeri sull’altro lato della strada ( a destra) di casa sua.
Che cosa strana! Disse di sapere che c’erano più di 50, ma meno di 500 case su quel lato della strada.
Ho parlato della cosa con il nostro parroco e lui ha preso un lapis e ha trovato il numero civico della casa in cui viveva il belga.Non so come abbia fatto”
Indicando con …51, 52,…,x, (x+1), (x+2),…,y,……….,499
la successione dei numeri civici tra i quali si trova la soluzione x+1, basta imporre l’uguaglianza:
(1+x)x/2= (x+2+ y)[y –(x+1)]/2.
Da cui si ottiene la risolvente (S), che si risolve come indicato.
Il problema è stato risolto, per la prima volta senza l’uso delle frazioni continue e per simmetria, dal matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, in Valle Caudina)e contenuto nel suo CODEX CERVINARENSIS. cura di Umberto Esposito
7 febbraio 2010 alle 17:48
TEOREMA GENERALE DI GALLO SULLA RISOLUBILTA’ PER RADICALI Sia (En) anx^n+ an-1 x^(n-1)+……+a1x+a0 =0 l’equazione algebrica generale di grado n con ai reali non nulli (i=0,1,…,n) con n intero>0. Se xG = (-a0/an )^(1/n) è la “pseudosoluzione di Gallo” della (En), allora,definiamo residuo nullo di Gallo la relazione nulla tra i coefficienti della (En) che si ottiene da F(xG)=0 . Ciò posto, sussiste il seguente: TEOREMA GENERALE DI GALLO SULLA RISOLUBILTA’ PER RADICALI(1996) “L’equazione algebrica generale (En) anx^n+ an-1 x^(n-1) +……+a1x+a0 =0, di grado n con ai reali non nulli (i=0,1,…,n) e con n intero (finito)>0, è “risolubile per radicali”, se, e solo se, la serie composta dalle n-1 equazioni algebriche che da essa si ottengono, di gradi k=1,2,…,n-1, sono tali che: a) per k dispari >1, il residuo di Gallo F(xG)=0 non contiene radicali di indici k ; b) per k pari il residuo di Gallo F(xG)=0 contiene radicali di indici k.”
Per n=1 è sufficiente che la (E1) a1x+a0=0 non contenga radicali di indici k>1. Il che è ovvio, in quanto k =n-1 1.La formula risolutiva della (E1) ax+b=0 (forma senza indici della (E1))è (FA/1) x1= -b/a .
Per n=2 la (E2) a2x2+ a1 x1+a0 =0 è tale che, essendo xG= xG= -a0/a2, risulta F(xG)=0 equivalente alla a2 (-a0/a2)+ a1 (-a0/a2)^1/2+a0 =0 , da cui a1 (-a0/a2)^1/2 =0 che contiene un radicale di indice k=2=n, mentre la sua ridotta di grado k=1 ovviamente contiene un radicale di indice k=1, ma essendo k=1, la condizione a) è soddisfatta. Essendo soddisfatta anche la condizione b), se ne deduce che la (E2) è risolubile per radicali. Infatti la formula risolutiva della (E2) ax2+ b x1+c =0 (forma senza indici della (E2)) è la (FA2) x1.2= (-b/2a)± ( (a^2 –4 bc)/4a)^1/2 ( forma semplice o senza indici ) Per n=3 la (E3) a3x3 +a2x2+ a1 x1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/3a3)^1/3 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a3(-a0/a3)+ a2 (-a0/a3)^2/3+ a1 (-a0/a3)^1/3+a0 =0 da cui a2 (-a0/a3)^2/3+ a1 (-a0/a3)^1/3=0 che risulta equivalente alla a0a2 ^3 –a3a1^3=0 che non contiene radicali di indice n=3. E quindi, poiché la serie di equazioni algebriche (E2) , (E1) , di gradi k<3, verifica le a) e b) del Teorema Generale di Gallo sui residui nulli, si ha che la (E3) è “risolubile per radicali”. La radice reale x1 della (E3) si ottiene con la classica formula di Cardano che qui riportiamo riferita alla equazione completa di terzo grado (E3) ax3 +bx2+ c x1+d=0 (forma senza indici della (E3)) nella forma x1= – b/3a +H^1/3 +K^1/3, con H=A+ (A +B)1^2 e con K = A- (A+B)^1/2; con A =((-b^3)/27a^3) + (bc/6a^2) – (d/2a); con B=(c/3a)-(b^2/9a^2).Le altre due soluzioni x2,3 si ottengono medainte la risolvente di secondo grado che si ottiene a partire dala (E3), mediante, ad esempio, la Regola di Ruffini. Per n=4 la (E4) a4x4 + a3x3 +a2x2+ a1 x1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/a4)^1/4 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a3(-a0/a4)^2/4 + a2 (-a0/a4)^1/4+ a1 =0 che contiene due radicali di indice n=4. E quindi, poiché la serie di equazioni (E3), (E2) , (E1) , di gradi k<4, verifica le a) e b) del Teorema Generale di Gallo sui residui nulli, si ha che la (E4) è “risolubile per radicali”. Le radici della (E4) si ottengono con la classiica formula di Ferrari che qui riportiamo riferita alla equazione completa di quarto grado (E4) ax4 +bx3+ c x2+dx +e=0 (forma senza indici della (E4)) data da xi= (- b/4a ) +yi ( i=1,2,3,4), con y1,2 soluzioni di y2+Ey +(A+D-EB)4D=0 e con y3,4 soluzioni di y2-Ey +(A+D+EB)4D =0; con A=(c/2a)- 3b^2/16a^2; B= (bc/2a^2)-(d/a)- b^3/8a^3; C= /3b^4/256a^4)-(b2c/16a^3)+(db/4a^2) –c/a ; con D soluzione reale dell’equazione 8f^3 +16 Af^2 +8(^2 +C)f –B^2=0 e con E= (2D)^1/2, essendo f tale che (y^2 +A+f)^2 =2fy^2 +By +(f^2 +2Af +A^2 +C) , per il che è sufficiente che sia B^2 -8f(f^2 +2Af +A^2 +C)=0.
Per n=5 la (E5) a4x4 + a3x3 +a2x2+ a1 x1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/a5)^1/5 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a4(-a0/a5)^3/5 + a3 (-a0/a5)^2/5+ a2(-a0/a5)^1/5 +a1=0, che contiene TRE radicali di indice n=5. E quindi, nonostante la serie di sottoequazioni algebriche (E4), (E3), (E2) , (E1) , di gradi k5 le equazioni algebriche di grado n , a loro volta, NON sono risolubili per radicali, in quanto per ogni k>5 nella serie di sottoequazioni algebriche (E1),(E2),(E3),(E4),(E5)….,(Ek-1), associata alla generica equazione algebrica generale di grado k minore o uguale ad n (>4) è sempre presente la (E5) che, non essendo risolubile per radicali, implica che la generica (En) per n>4 non è risolubile per radicali. Si tratta dello stesso risultato espresso mediante il classico TEOREMA DI RUFFINI-ABEL (Per n>4 le equazioni algebriche generali di grado n non sono risolubili per radicali), ma ottenuto in modo, oltre che più chiaro e più semplice, soprattutto più immediato sulla base del concetto di “residuo di Gallo”. Sintesi dal Codex Cervinarensis del matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, in Valle Caudina). A cura di Umberto Esposito.
2 marzo 2010 alle 13:41
SISTEMI DI 3 EQUAZIONI IN 3 INCOGNITE- FORMULE DI GALLO Riportiamo qui le Formule di Gallo relative ai sistemi di tre equazioni lineari in tre incognite, scoperte nel 1994 dal matematico Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) e che appaiono, per la prima volta nella Storia della Matematica, nel suo Codex Cervinarensis. Tali formule sono una conseguenza immediata del seguente Teorema del parametro fisso di Gallo : “ Se (S) ai x+bi y +ci z = di (i=1,2,3) è un sistema di tre equazioni nelle tre incognite x,y,z ( con bi diverso da ci per ogni i=1,2,3), posto Ai=di –aix (i=1,2,3), allora le soluzioni delle tre equazioni lineari “zippate” di Gallo biyi +ciz= Ai (i=1,2,3) sono date dalle formule di Gallo y= ((Ai –ci) –ci ti)/(bi-ci) e z= ((bi-Ai) +biti)/(bi-ci) (i=1,2,3) e , qualunque sia i =1,2,3, risulta ti =t fisso= y+z-1” . Pertanto le FORMULE DI GALLO relative al sistema (S) di tre equazioni in tre incognite, che qui scriviamo in forma esplicita, che si ottengono a partire dalla prima equazione di (S) a1x +b1y+c1z=d1 ; a2x+b2y+c2z=d2 ; a3x+b3y+c3z=d3 , posto M= c1(b2-c2)-c2(b1-c1); P=M +d2(b1-c1)-d1(b2-c2); R=a2(b1-c1) – a1(b2-c2); N= c1(b3-c3)-c3(b1-c1); Q= N+d3(b1-c1)-d1(b3-c3); S=a3(b1-c1)-a1(b3-c3), con A1= d1-a1x e con t= y+z-1= (QR-PS)/(MS-RN); sono date dalle x= (P+Mt)/R = (Q+Nt)/S; y= ((A1-c1)-c1t)/(b1-c1); z=((b1-A1) +b1t)/(b1-c1). Le formule di Gallo consentono di evitare d’ora in poi, con grande gioia degli studiosi e degli studenti, di risolvere i sistemi di tre equazioni in tre incognite con uno dei soliti metodi tradizionali (compreso il ben noto metodo che fa uso della Regola di Sarrus, che coinvolge il calcolo di due determinanti del terzo ordine). E’ chiaro che se x,y,z sono non lineari le formule stabilite sono ugualmente valide. Riportiamo due esempi numerici. ESEMPIO N1 Risolvere il sisetma (S1) 2x+5y-z=21; x+3y-2z=5; 3x+2y-2z=7. Risultando M=7; P= -68; R=-4; N=8; Q= -34: S=10 , otteniamo t=8 ed x=3 , per cui A1=15 e quindi y=4 e z=5. ESEMPIO N2 Risolvere il sistema(S2) 3x+5y-7z=-9; 2x-3y+4z=16; 5x-2y+z=15. Risultando M=1; P=-130; R=-45; N=9; Q=-162: S=69 , otteniamo t=5 ed x=3 , per cui A1=-18 e quindi y=2 e z=4. A cura di Umberto Esposito
2 aprile 2010 alle 22:29
ULTIME SCOPERTE MATEMATICHE
LA SECONDA DIMOSTRAZIONE ELEMENTARE E DIRETTA DELL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT.
Dopo aver fornito, in solo sei pagine, per primo a livello mondiale, la prima (27.XII.1993, Roma) dimostrazione generale originale di tipo DIRETTA , fondata sul suo originale Principio di Disidentità e sulla sua originalissima TTIE (1989), dell’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (UTF) e dopo aver ricostruito (per discesa infinita) per la prima volta la probabile “demonstrationem mirabilem”, di tipo elementare, dello stesso Pierre de Fermat (1601-1665), il matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina) nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Congetture) riporta una seconda dimostrazione non solo “elementare”, ma anche di tipo “diretta” dell’UTF. Tale dimostrazione si fonda sul seguente LEMMA DI GALLO (10 marzo 1997): “ Sia (k,r,n) una terna di interi positivi. Se (EDG) (1^r +k^r)^n + (2^r +k^r)^n = (3^r +k^r)^n è l’equazione diofantea di Gallo e se c=a/b, con a e b, rispettivamente, elementi della diagonale principale e della diagonale secondaria della matrice simmetrica A di Gallo 2×2, di prima riga a11=a=r1 , a12=b=n1 e di seconda riga a21=b=r2 , a22=a=n2, allora, condizione necessaria e sufficiente, affinchè la (EDG) ammetta almeno una soluzione intera positiva, è che sia c=2”
(DIM.: Risultando, per k=2 e per a11=a=r1=2, a12=b=n1=1, a21=b=r2=1, a22=b=n2=2 , c=a/b= 2/1 =2 (intero positivo), la (EDG) ammette, per n=n1=1, la soluzione intera positiva (k, r1, n1)=(2, 2, 1); mentre per n=n2=2 ammette la soluzione intera positiva (k, r2, n2)=(2, 1, 2)).
Riportiamo ora la seconda dimostrazione “elementare” e “diretta” dell’UTF ottenuta da Onofrio Gallo il 10 marzo 1997.
ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (UTF)
“L’equazione diofantea (F) x^n+y^n= z^n , con x, y, z, n interi positivi, non ammette soluzioni intere positive se n è maggiore di 2”
(DIM. Se si prendono x=(1^r +k^r)^n ; y=(2^r +k^r)^n ; z= (3^r +k^r)^n con k,r, n interi positivi, allora l’equazione di Fermat (F) e l’equazione di Gallo (EDG) risultano equivalenti.
Ne segue, per il LEMMA DI GALLO, che la (F) per n=1 ammette, per (k, r1, n1)=( 2, 2, 1) come soluzione intera positiva la terna pitagorica primitiva (5, 8, 13), mentre per n=2 la stessa (F) ammette , per (k, r2, n2)=( 2, 1, 2), come soluzione intera positiva la terna pitagorica primitiva fondamentale (3, 4, 5). Poiché per k=2, per a11=a=r1=2, a12=b=n1=3, a21=b=r2=3, a22=b=n2=2, e per a11=a=r1=2, a12=b=n1=4, a21=b=r2=4, a22=b=n2=2, risultando, rispettivamente, c= 2/3 (non intero) e c=2/4 (non intero), se ne deduce, in generale ( risultando c=2/ s non intero, per ogni intero positivo s maggiore di 4) che la (EDG), o , per equivalenza, che l’equazione di Fermat, per valori di n maggiori di 2, non ammette soluzioni intere positive. Il che prova la validità dell’UTF.).
COMMENTO: Come già dimostrato mediante il nostro Teorema Mirabilis (1993) il fatto che la (F) non ammette soluzioni intere positive ( e più in generale “intere”) deriva dalla mancanza di “simmetria” nella (F) non appena risulta n maggiore di 2. Mediante il nostro Lemma il fatto che dev’essere c=2 deriva da una proprietà strutturale della matrice simmetrica A, le cui diagonali sono formate da elementi fissi a11=a22=2 e a12=a21=1. Mentre la (F) non è risolubile “per soluzioni intere” (positive) non appena n è maggiore di 2, segnalando la scomparsa della “simmetria” presente nella (F) per n=1 ed n=2, la dimostrazione fornita per quest’altra via della validità dell’UTF, si fonda sul fatto che non appena gli elementi a12=a21 della diagonale secondaria della matrice simmetrica A assumono valori positivi maggiori di 1, il valore di c non intero positivo, per cui la (EDG), e quindi anche la (F), non risultano mai soddisfatte.
A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.
14 aprile 2010 alle 01:05
RISOLTO L’VIII PROBLEMA DI HILBERT O IPOTESI DI RIEMANN – TEOREMA RH-MIRABILIS DI GALLO –
Ed ecco cosa scrive nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Congetture), il matematico italiano Onofrio Gallo ( n.1946 a Cervinara, Valle Caudina):
“Il geniale matematico tedesco G.F- B. Riemann (1826-1866) nel suo unico saggio di appena dieci pagine sulla Teoria dei Numeri, dal titolo “Sul numero dei numeri primi inferiori a una grandezza data”(novembre 1859, nelle note mensili del Bollettino dell’Accademia di Berlino), aveva elaborato sei congetture relative alla funzione zeta. La sesta è quella che va sotto il nome di Ipotesi di Riemann:
“Ogni zero complesso (non banale) della funzione zeta ha la parte reale che giace sulla retta reale x=1/2” .
Mediante la sua formula segreta, Riemann andò oltre i 138 zeri calcolati col “metodo di Eulero”. Molti anni dopo, a Cambridge, alcuni studenti di Hardy riuscirono a calcolare 1041 “zeri di Riemann” tutti aventi la parte reale sulla retta reale di Riemann x=1/2.
Tale formula “segreta” è ora nota come “formula di Riemann-Siegel”, in quanto fu ricostruita dal matematico tedesco C.L. Siegel in seguito ad un approfondito esame degli scritti e dei lunghissimi calcoli a mano dello stesso Riemann contenuti nel suo inedito Nachlass ( conservato a Gottingen).
Nella sua ricerca sui numeri primi Riemann trovò una funzione R(n), detta funzione di Riemann, fondata sulla funzione zeta, in base alla quale si ottengono ottime approssimazioni della funzione di distribuzione dei numeri primi.
Vale a dire che mediante R(n) si ottengono, per ogni n fissato, ottime stime del numero di primi inferiori ad n. Per esempio per n = 10exp9 (un miliardo) la R(n) ci dice che esistono all’incirca 50 847 455 numeri primi inferiori al miliardo.
La formula di R(n) è espressa da 1 sommato ad una particolare somma composta da infiniti termini frazionari , tra i denominatori dei quali figurano, tra gli altri, i valori della funzione zeta calcolati in corrispondenza degli infiniti valori (k+1).
I matematici fino ad oggi, con l’ausilio di potentissimi elaboratori elettronici, sono riusciti ad ottenere miliardi di miliardi di zeri di Riemann, verificando di fatto che, per ciascuno di essi, è sempre valida l’Ipotesi di Riemann, cioè che risulta invariabilmente x=1/2.
Il tutto nella (finora) vana speranza di trovare un solo zero di Riemann che non si trovi sulla retta reale di Riemann x=1/2.
Ma fino ad oggi non solo non si è mai trovato un controesempio all’Ipotesi di Riemann, ma neppure hanno fatto importanti o significativi progressi sulla ricerca di una dimostrazione della stessa Ipotesi di Riemann. Né il futuro in tal senso appare roseo.
Occorre forse abbandonare la funzione zeta? O indirizzare le ricerche partendo da nuovi punti di vista?
Le risposte potrebbero trovarsi proprio a partire da alcune idee espresse dallo stesso Riemann.
Egli era convinto che l’uso delle funzioni complesse fosse assai utile per scoprire nuove linee di ricerca e/o per interpretare in modo nuovo e originale teorie e congetture (già esistenti o future).
Nella sua Inauguraldissertation (1851) Riemann afferma:
“ L’immissione delle quantità complesse in Matematica trae origine e scopo immediato dalla teoria delle funzioni che esprimono dipendenza semplice tra le variabili per mezzo di operazioni sulle stesse”.
Se, infatti, di attribuiscono valori complessi alle variabili che figurano in tali funzioni, allora – conclude Riemann- “ si presenta un’armonia e una regolarità che altrimenti non verrebbero evidenziate”.
A tale proposito il matematico Onofrio Gallo scrive:
“ Siamo perfettamente in sintonia con quest’idea di fondo, in caso contrario non avremmo creato dal nulla la nostra TTIE (1989) che rappresenta il culmine di tale idea riemanniana che, a sua volta, si salda con un’altra grande idea, quella della “Teoria dell’ambiguità” intravista dal genio di E.Galois, al di là della Teoria dei gruppi, nel seguente passo del suo pensiero, estrapolato dalla sua “ultima lettera” all’amico A. Chevalier del 29 maggio 1829, alcune ore prima del duello fatale:
“Le mie principali meditazioni, da qualche tempo, riguardavano l’applicazione della teoria dell’ambiguità all’analisi trascendente. Si trattava di stabilire a priori, in una relazione tra quantità o funzioni trascendenti, quali scambi si potessero fare, quali quantità si potessero sostituire alle quantità date, senza che la relazione potesse venir meno. Il che consente di riconoscere subito l’impossibilità di molte espressioni che si potrebbero cercare. Ma io non ho tempo, e le mie idee non sono ancora ben sviluppate su questo terreno, che è immenso.”
Siamo certi che per Galois, come per Riemann, la nostra TTIE avrebbe costituito la “teoria ideale” per scoprire le armonie e le regolarità riconoscendo subito le impossibilità in cui un matematico spesso finisce per imbattersi, molto spesso, con grande delusione, dopo lunghi periodi relativi alla ricerca di un teorema o alla verifica di una teoria, finendo quasi sempre per impantanarsi nelle paludi di oscuri labirinti della mente dai quali non è per nulla facile venir fuori seguendo i percorsi della logica ordinaria euclidea.” Non per nulla Onofrio Gallo, nel 2004, sulla base dei numeri primi di Gallo di prima specie di classe pari e di grado 1, mediante la funzione psi di Gallo, è riuscito ad ottenere, nel campo dei numeri complessi, una teoria parallela a quella della celebre funzione ζ (zeta) di G.B. Riemann ( 1826-1866) e, sempre nello stesso anno, sulla base della funzione “ibrida”ϕ (fi) di Gallo, egli ha dimostrato il fondamentale Teorema RH di Gallo . Ma esiste anche una seconda dimostrazione, quella cosidetta “sintetica” dell’Ipotesi di Riemann ottenuta da Onofrio Gallo il 10 marzo 2005 sulla base del suo formidabile Teorema Mirabilis. Tale dimostrazione, riportata alla fine di questo articolo, si compone di appena sette righe.
La prima “singolare” e originalissima dimostrazione del Teorema RH di Gallo in realtà fu ottenuta da Onofrio Gallo il 29.XII.2004 che subito dopo depositò la relativa memoria presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere, senza mai diffondere- sino ad oggi- altrove né la prima né la seconda delle sue dimostrazioni dell’RH.
Le chiavi della prima (27 .XII.1993, Roma) dimostrazione generale diretta dell’Ultimo Teorema di Fermat (o UTF), ad opera di un unico autore a livello mondiale, furono create dallo stesso Onofrio Gallo e sono le due seguenti:
a) il Principio di Disidentità di Gallo, scoperto nell’ambito della sua TTIE ( o Teoria delle Trasformazioni delle Identità in Equazioni , del 1989)un principio paradossale ( agli occhi degli esterrefatti “ geometri euclidei” ) appena percepito, sia pure in modo nebuloso, per certi aspetti dallo stesso Cauchy nel corso delle applicazioni della Teoria delle congruenze di ordine superiore creata da Gauss e ripreso in seguito , sotto una nuova luce, da L. Kronecker (1823 -1891) ai fini di un’aritmetizzazione dell’intera Matematica: accantonare l’unità immaginaria, in quanto -secondo lui- “Tutti i risultati delle più profonde ricerche matematiche devono alla fine potersi esprimere sotto la semplice forma di proprietà dei numeri interi”;
b) il Secondo Principio Generale della Conoscenza, F F = C , dove F è una proprietà “falsa o non esatta”, un algoritmo opportuno e C è una proprietà “vera o esatta “, adoperato fin dall’antichità sotto vari nomi e in vari capitoli delle Matematiche ed anche inconsapevolmente all’ultimo istante (19.09.1994) dallo stesso Wiles, che si avvalse di due teorie (quella di Iwasawa e quella di Kolivagin-Flach, che singolarmente non funzionavano, ma prese insieme) e che gli permisero di dimostrare la validità parziale della Congettura di Taniyama-Shimura e la conseguente dimostrazione generale indiretta dell’UTF,
Con le stesse “ chiavi” Onofrio Gallo mediante il suo Teorema RH è riuscito ad aprire per la prima volta lo scrigno contenente i segreti dell’Ipotesi di Riemann.
Ma in questa sede, a dimostrazione della potenza del Teorema Mirabilis di Gallo, anch’esso si fondato sulle stesse “ chiavi” di cui s’è detto, ci limitiamo a riportare la dimostrazione “sintetica” dell’Ipotesi di Riemann (RH) racchiuso nel cosiddetto Teorema RH-Mirabilis di Gallo ,opera, ancora una volta, dello stesso matematico Onofrio Gallo, costituita di solo sette righe. La seconda dimostrazione dell’RH, il Teorema RH-Mirabilis di Gallo, risale alla primavera del 2005 (10 marzo 2005) e si fonda sia sull’applicazione del noto Teorema Mirabilis di Gallo e sia su una ben nota proprietà degli zeri della funzione zeta di Riemann, vale a dire che, se ζ(s)=0, anche ζ(1-s)=0. Pertanto sia il Teorema RH di Gallo sia il Teorema RH-Mirabilis di Gallo risolvono una volta per tutte l’VIII Problema di Hilbert. Tale problema è stato in assoluto il più celebre e il più ostico dei 23 problemi posti dal matematico tedesco David Hilbert nel 1900, nel corso del secondo Congresso Internazionale di Matematica svoltosi a Parigi.
Dopo un periodo di circa un secolo e mezzo nel corso del quale i matematici hanno tentato di rsisolverli tutti, fino al 2004, erano rimasti solo tre problemi di Hilbert da risolvere, dei quali l’VIII (quello risolto da Onofrio Gallo) era indubbiamente il più difficile di tuttti. Per apprezzarne tutta la bellezza matematica del Teorema RH-Mirabilis di Gallo, e per una migliore comprensione del significato e dell’importanza del Teorema Mirabilis di Gallo (Roma, 27 dic., 1993, Gottingen 27 ott. 1994, Oslo sett. 2004), per i meno esperti, riportiamo la seguente breve sintesi dal citato Codex Cervinarensis con licenza dell’Autore.
IL TEOREMA MIRABILIS DI GALLO -APPLICAZIONI Com’è noto l’Ultimo Teorema di Fermat (UTF) è un caso particolare del Teorema Mirabilisdi Gallo, il quale non solo dimostra l’UTF, ma consente anche di mettere da parte lo stesso Teorema di Pitagora, in quanto con un solo lato consente il calcolo degli altri due di un triangolo rettangolo ( senza radici quadrate, senza tentativi e senza l’uso delle frazioni continue!)
Un primo esempio? Se T è il triangolo rettangolo di ipotenusa z=5 e si vogliono calcolare i due cateti di T, mediante la funzione di simmetria di Gallo di grado 2 F(w)= 25 -2 w ^2 , relativa all’equazione pitagorica (P) x^2 +y^2=25, basta far variare il parametro w tra i valori (1,2,3,4) (interi positivi che variano in (1,2,..,(z-1)) per ottenere i due valori SIMMETRICI F(3)=+7 ed F(4)=-7, per w1=3 e w2=4: per cui i cateti misurano 3 (=w1) e 4 (=w2): in tal modo abbiamo calcolato i due cateti di T conoscendo solo la misura dell’ipotenusa, senza tentativi, senza radici quadrate e senza l’uso delle frazioni continue! Ma può capitare che la stessa ipotenusa sia comune ad un numero k >1 di triangoli rettangoli (“gemelli”), ad esempio quando z = (4n+1)^k con 4n +1 primo, anche in tali casi il Teorema Mirabilis di Gallo, con una sola applicazione, permette di calcolare “per simmetria” i 2k cateti incogniti, senza tentativi, senza radici k-me e senza frazioni continue. Supponiamo, ad esempio, che sia nota l’ipotenusa z=625 di un triangolo rettangolo T. Essendo z=625= 5^4 ( ed essendo 5=4n+1, per n=1, un numero primo), sappiamo che l’ipotenusa di T è comune a quattro triangoli rettangoli gemelli Ti (1=1,2,3,4), per cui occorre calcolare gli otto cateti dei quattro triangoli rettangoli gemelli che hanno l’ipotenusa z=625 in comune . Essi si ottengono mediante il Teorema Mirabilis di Gallo utilizzando la funzione di simmetria di Gallo F(w)= 625 -2 w^2 , di grado 2, relativa all’equazione pitagorica x^2+y^2= 625^2. Per ottenere i cateti incogniti occorre determinare i valori h e k (naturali >0) tali che risulti verificata la condizione di simmetria di Gallo (GCS) F(h)= – F(k) con h e k variabili in V=(1,2,..,(z-1))=(1,2,…., 624).
Gli otto cateti incogniti dei triangoli Ti sono le coppie ( h, k) (interi >0) date da (175,600), (220,585), (336, 527), (375, 500), come si evince dalle seguenti simmetrie:
F (175)=329375/k F(600)=-329375/k
F (220)=293825/k F( 585)=-293825/k
F (336)=164833/k F( 527)=-164833/k
F (375)=109375/k F (500)=-109375/k
Quindi i quattro triangoli rettangoli gemelli, che hanno l’ipotenusa z=625 =5^4 in comune, sono i seguenti:
T 1 =(175, 600, 625)
T 2 =(220, 585, 625)
T 3 =(336, 527, 625)
T 4 =(375, 500, 625).
Con una leggera variante lo stesso Teorema Mirabilis di Gallo, viene ora applicato alla soluzione z=x+iy dell’equazione di Riemann ζ(z)=0, anziché alla stessa ζ(z)=0, In tal modo ingegnoso e singolare il matematico cervinarese, a quanto pare, è riuscito a venire a capo dell’”enigma degli enigmi” (dimostrazione dell’Ipotesi di Riemann) mediante il “più semplice dei più semplici” dei teoremi delle Matematiche; vale a dire mediante il seguente:
TEOREMA RH-MIRABILIS DI GALLO (ex-Ipotesi di Riemann)
“Con z≠1, x ed y reali non nulli, se z=x+iy è uno zero non banale della funzione zeta ζ(s) di Riemann, allora ζ(s)=0 e ζ(1-s)=0 se, e solo se, Re(z)=1/2”
DIM.: Al generico zero di Riemann z=x+iy della funzione zeta di Riemann ζ(s) resta associata la funzione complessa di simmetria di Gallo (1) F(z)=(z-x)/y.
Per il Teorema Mirabilis di Gallo, essendo per ipotesi ζ(s)=0 e ζ(1-s)=0 , ne segue che dev’essere soddisfatta la seguente condizione di simmetria di Gallo (CSG) F(s)= -F(1-s).
Ed essendo F(s)= (s-x)/y da un lato ed F(1-s) =(1-s-x)/y dall’altro, ne segue, per la (CGS), che dev’essere (s-x)/y = (1-s-x)/y , vale a dire x=Re(z) =1/2.
Pertanto, essendo per ipotesi s ed 1-s anch’essi zeri di Riemann, per quanto dimostrato,deve risultare anche Re(s)=Re(1-s)=1/2, che è quanto volevasi dimostrare.
Attenzione: La presente dimostrazione è stata depositata in sede opportuna ed è coperta dal diritto d’Autore , pertanto è vietato riportarne per intero o in parte il testo senza il consenso scritto dell’Autore; tuttavia è ammesso citare sia il contenuto in forma sintetica o indiretta con l’obbligo di citare in ogni caso l’Autore e la fonte.
A cura di Umberto Esposito , per gentile concessione dell’Autore
14 aprile 2010 alle 09:55
Mi è doveroso porgere i miei complimenti a Gallo: la sua idea sulla congetturaq di Riemann sembra molto vicina alla soluzione già proposta dal sottoscritto. Cito il riferimento multimediale:
http://www.wikinfo.org/index.php/Extension_of_the_Fermat%27s_numbers
(dall’enciclopedia http://www.wikinfo.org/index.php/ selezionare Extension of the Fermat’s numbers)
e l’opera cartacea corrispondente su http://stores.lulu.com/jmbalzan “Estensione dei teoremi di Fermat (libro)”, con ISBN 978-1-4452-4465-5
Copyright Prof. Giovanni Imbalzano, Moncalieri IT. (Licenza standard di copyright)
4 luglio 2010 alle 14:04
ONOFRIO GALLO…CHI E’ COSTUI? – L’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (UTF)
TRA FAVOLE ED ERRORI LA DUBBIA DIMOSTRAZIONE INDIRETTA DELL’UTF DI A.J.WILES E .TAYLOR.
Fornito l’annuncio in modo trionfale nel maggio 1993 all’Isaac Newton Mathematical Science Institute dell’Università di Cambridge, la dimostrazione generale indiretta dell’UTF da parte del solo Wiles, si rivelò errata subito dopo qualche mese (agosto 1993). Già subito dopo l’annuncio Alan Baker …..nutrendo vari dubbi sull’esattezza della dimostrazione proposta da Wiles, lanciò una specie di maledizione sulla dimostrazione dell’UTF da parte di Wiles. E nel maggio 1993, Wiles indubbiamente dev’essere stato colpito proprio dalla “maledizione di Alan Baker”, nei confronti del quale doveva ritenersi idealmente debitore di una bottiglia di vino (si spera di buon Porto , come avrebbe scritto E. T. Bell!), che era a tal punto scettico circa la validità della dimostrazione di Wiles presentata in quell’estate del 1993 a Cambridge, che avrebbe volentieri scommesso ben cento bottiglie di vino contro una sola sulla non validità della dimostrazione di Wiles entro un anno .
Ancora oggi (Luglio 2010) la dimostrazione congiunta (1995) fornita da parte di Wiles e Taylor dell’UTF non ha convinto tutti, in quanto sussistono alcuni interrogativi e punti oscuri anche nella dimostrazione pubblicata nel maggio 1995 sugli Annals di Princeton presi in considerazione sia a livello logico che in termini procedurali di una dimostrazione “matematica”.
Il sogno di Wiles come risolutore dell’UTF è stato fatto risalire addirittura al bambino sognatore A.J.Wiles che, all’età di dieci anni, avrebbe sognato (non di giocare col pallone o al cricket o…, ma) di poter dimostrare l’UTF, secondo una favola diffusa dai vari S.Singh e A.Aczel, vessilliferi della gloria matematica del duo inglese Wiles-Taylor, un sogno che si sarebbe verificato di fatto per Wiles solo dopo aver superato i 40 anni, il che gli avrebbe impedito (non si capisce perché non si menziona anche Taylor) di essere premiato con la Medaglia Fields. Ma nonostante i dubbi, nel 1998, l’Unione Matematica Mondiale, dopo un’attenta analisi (si spera), decise di accettare per buona la dimostrazione generale indiretta dell’UTF in questione, come corollario alla dimostrazione parziale della Congettura di Taniyama-Shimura (1954).
In merito alla dimostrazione annunciata nel 1993 dal solo Wiles, riportiamo una nota inedita del matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina) risalente al giugno 1993 e che appare nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Congetture), non senza ricordare l’eco fragorosa in quel periodo suscitata dalla stampa internazionale (soprattutto anglosassone: il New York Times, esplose il suo solito “EUREKA!” ) all’eroica e titanica impresa compiuta dal solo Andrew John Wiles, mentre in Italia un mensile a livello nazionale e una rivista per cultori delle matematiche si limitarono ( vari anni dopo, per precauzione?) a riportare quanto era ormai già noto a tutti in modo pedissequo e acritico, nonostante il fiorire nell’Italicus campus di fior di luminari nell’ambito della Teoria dei Numeri.
Ma quali sono i dubbi e gli interrogativi evidenziati già nel giugno 1993 da Onofrio Gallo? Eccoli:
“La “presunta” dimostrazione indiretta dell’UTF da parte di Wiles si fonda, per quanto ci consta, su una serie di collegamenti, implicazioni e contro-implicazioni, di tipo logico-operativo e che coinvolgono varie teorie, non si sa bene fino a che punto compatibili tra loro e fino a che punto interdipendenti e/o relazionabili tra loro, tenuto conto che Wiles, a quanto sembra, ha dovuto creare nuovi ponti di collegamento sulla base di generalizzazioni e di deduzioni che richiederanno senza dubbio vari mesi di approfondimento e di svisceramento per stabilirne la correttezza locale e, successivamente, la correttezza globale. L’operazione presenta grossi rischi, in quanto la mole della dimostrazione indiretta dell’UTF, benché limitata, si fonda su una premessa dimostrativa della Congettura di Taniyama-Shimura (CT-S)(sia pure a livello parziale), relativa alle curve ellittiche cosiddette semistabili.
Tra i dubbi che nutriamo a livello personale due sembrano preponderanti e cruciali: in quanto nella dimostrazione indiretta di Wiles dell’UTF il delicato passaggio nel Teorema di Ribet ( “ La curva ellittica di Frey non è modulare”) che consente, tramite il mostro di Frey (una strana funzione ellittica alla quale non corrisponde alcuna forma modulare prevista dalla stessa CT-S, se quest’ultima è vera!), di “legare” la “verità” della CT-S alla conseguente “verità” dell’UTF, sembra essere messa in dubbio e contestata da vari matematici.
In altri termini Frey sembra aver costruito un “mostro ellittico” ( la curva ellittica di Frey (FR) y^2= x(A-x)(A+x) il cui discriminante (AB(A+B))^2 è un quadrato perfetto, a partire da eventuali soluzioni(intere positive) A, B dell’equazione di Fermat (F) A^n +B^n=C^n per n maggiore di 2 ) e Ribet sembra aver dimostrato che a tale “mostro ellittico” non possa corrispondere alcun “mostro modulare”, e ciò anche se la CT-S è vera!
Pertanto molti “osservatori” matematici contestano la dimostrazione di Ribet ( e di conseguenza l’implicazione della validità dell’UTF da parte della CT-S che è “vera” indipendentemente dal “Teorema di Ribet”), in quanto –essi (e noi siamo tra essi) sostengono- l’inesistente corrispondenza tra il “mostro di Frey” ( che è pur sempre una funzione ellittica, anche se “mostruosa”!) e la relativa “mostruosa forma modulare”, contraddice la “verità” dimostrata da Wiles della CT-S, secondo la quale ad ogni “funzione ellittica” ( anche “mostruosa”, dunque) deve corrispondere una ben precisa “forma modulare”( anche “mostruosa”).
Se così non fosse la CT-S conterrebbe nel suo grembo un serpente velenoso, un controesempio in negativo (ossia una “falsità”!) e la stessa CT-S per uccidere il serpente velenoso, vale a dire per risultare vera, dovrebbe essere enunciata nei seguenti termini:
“ Ad ogni funzione ellittica deve corrispondere una forma modulare, fatta eccezione per la funzione ellittica di Frey (“il mostro di Frey” (FR) y^2= x(A-x)(A+x)), alla quale non deve corrispondere alcuna forma modulare “mostruosa””
Ma ciò sarebbe sufficiente?
Quante (infinite?) funzioni ellittiche mostruose come quelle di Frey si potrebbero costruire?
Ed è possibile escludere “a priori” che a nessuna di esse possa corrispondere qualche forma modulare NON mostruosa?
Il fatto è che la CT-S non prende in considerazioni funzioni ellittiche “mostruose” e le loro (eventuali) corrispondenti forme modulari “mostruose”, né tantomeno quelle di tipo semi-stabili, sulle quali Wiles fonda la sua presunta dimostrazione diretta della “variante” della CT-S!
E’ pertanto lecito concludere, dunque, che, non contemplando la CT-S alcun tipo di “mostruosità”, il mostruoso “Teorema di Ribet” e le “mostruosità” ad esso collegate non sono in alcun modo “collegabili” con la stessa CT-S.
Di conseguenza, per la “ via mostruosa” tracciata da Frey e da Ribet, è impossibile non solo raggiungere, ma soprattutto espugnare il “castello fermati ano” dell’UTF, sia pure ricorrendo ad una infondata e illogica dimostrazione indiretta dell’UTF, sulla base della dimostrazione da parte di Wiles della parziale “verità” della CT-S.
Il “processo illogico” contenuto nelle argomentazioni di Frey e Ribet, per ricapitolare, che non consentirebbe una dimostrazione indiretta dell’UTF da parte di Wiles sulla base della dimostrazione parziale della “verità” espressa dalla CT-S in termini aritmetici sarebbe il seguente:
“alla verità “2”= “2” [CT-S: alla funzione ellittica “2” corrisponde la forma modulare “2” (verità 1)] Frey e Ribet aggiungono la verità “mostruosa” “5” = “7” [alla funzione ellittica mostruosa “5” corrisponde la forma modulare mostruosa “7”(falsità 1)], ottenendo “2+5 “= “2+7” e, poiché “7”≠“9” [alla funzione ellittica “7” non corrisponde alcuna forma modulare “9”(verità 2?)], dev’essere impossibile anche “5” =” 7 ”[ far corrispondere al mostro ellittico “5” il mostro modulare “7” (verita 3?)], in caso contrario …dovrebbe risultare “falsa” la CT-S “ 2”= “2”, ossia dovrebbe risultare “2”≠”2 ( falsità 2”): l’assurdo finale deriverebbe quindi da due verità dubbie o non provate( le verità2? e 3?). Il che non è affatto corretto a rigor di logica..
Ma, sempre per quanto ci consta, esiste una seconda difficoltà legata all’eventuale validità della dimostrazione indiretta dell’UTF da parte di Wiles, legata, secondo noi, ad un’arbitraria estensione del principio d’induzione completa a particolari gruppi finiti (additivi) ottenibili dai punti interni ad una particolare curva ellittica i quali, se sono modulari, risultano modulari anche i punti di ciascun gruppo finito della corrispondente curva ellittica. Sembra che Wiles, per dimostrare, a livello generale la corrispondenza tra le infinite curve ellittiche (semistabili) e gli infiniti gruppi modulari (finiti) ad esse collegati, sia partito dal gruppo finito di ordine 9, per poi passare, per induzione a gruppi finiti di ordine crescente 9^k per k maggiore di 1.”
In seguito Onofrio Gallo così precisò al riguardo il suo pensiero:
“E’ come se, a proposito delle soluzioni del ben noto Problema di Strand, avessimo voluto determinarle nei termini seguenti:
“Se invece di considerare, l’intervallo (1,499) si considerano gli intervalli ( 1n, 499n) è verosimile la “ Congettura di Raniello”, secondo la quale in tali intervalli, per n naturale ≥ 2 NON ESISTONO soluzioni del Problema di Strand. “,
Il che ci fa comprendere che non sempre è lecito procedere per induzione nel caso l’ordine del problema varia in modo esponenziale. Un problema di ordine r^k, risolubile per k=1, non è detto che sia risolubile per k maggiore di 1. A livello logico generale ci sembra che sia lecito concludere che una verità valida per un gruppo finito (e per il relativo gruppo modulare associato) costituito da 9^k elementi, per k=1, non sempre è necessariamente valida al crescere di k.”
Per concludere, da parte nostra, osserviamo che in seguito alla dimostrazione indiretta congiunta dell’UTF(1995) da parte di Wiles-Taylor, sulla cima dell’Everest dei contestatori troviamo, in una posizione privilegiata, la massima autorità dissenziente contro la dimostrazione indiretta di Wiles-Taylor dell’UTF, la ben nota Marilyn Vos Savant (quoziente d’intelligenza 228, il più alto secondo The Guinness Book of Worlds Records) che nel suo libro The World’s Most Famous Math Problem mise subito in discussione la dimostrazione indiretta di Wiles-Taylor dell’UTF, non senza aver già in precedenza fatto la stessa cosa nei confronti della Teoria della Relatività di Einstein e non senza aver fatto un “ affare clamoroso” nella trasmissione TV Let’s Make a Deal (Facciamo un affare) ridicolizzando vari matematici e filosofi, non escluso lo stesso Paul Erdös, “l’uomo che amava solo i numeri”, secondo quanto scrive Paul Hoffman, a proposito del problema della scelta tra auto o capre.
Nonostante i premi, i riconoscimenti e le citazioni ufficiali relative a Wiles (e Taylor) sono rimasti intatti i dubbi e gli interrogativi legati sia alla dimostrazione generale indiretta dell’UTF da parte dei due matematici inglesi sia alla presunta “demonstrationem mirabilem” dell’UTF trovata in modo elementare da Fermat nel 1637.
Almeno fino all’avvento del Teorema Mirabilis di Gallo e alle dimostrazioni elementari dell’UTF fornite da Onofrio Gallo e ormai patrimonio delle conoscenze matematiche sul web.
P.S.Con l’occasione ringrazio il Prof. Imbalzano anche a nome di Onofrio Gallo.
News a cura di Umberto Esposito, per gentile concessione dell’Autore.