L’ultimo Teorema di Fermat
lunedì 25 settembre 2006Pierre de Fermat fu un matematico – spesso indicato come dilettante, nel senso che non esercitava da proferssionista riconosciuto, al tempo – che deve la sua notorietà al grande pubblico ad un teorema (l’ultimo, appunto – indicato con UTF) che non dimostrò mai. Lasciò, infatti, scritto: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”.
Questa memorabile “indicazione” ha tormentato i matematici di mezzo mondo per oltre 300 anni!
Finalmente nel 1995, dopo vari falsi allarmi di una soluzoine disseminati nei secoli, Andrew Wiles, un professore di matematica britannico, dopo aver dedicato una vita intera alla soluzione di questo “mistero”, riuscì alla fine nell’ardua impresa di dimostrare l’ultimo teorema di Fermat.
Nessuno qui vuole mettere in dubbio la dimostrazione di Wiles, oggi ufficialmente riconosciuta dall’establishment matematico, nonchè citata nella maggior parte dei testi del settore. Vorrei invece porre all’attenzione due espetti imprtanti che riguardano questa vicenda:
- La dimostrazione di Wiles utilizza strumenti matematici di ultima generazione, certamente sconosciuti al simpatico Fermat
- Il prof. Andra Ossicini, un matematico italiano, da tempo rivendica quantomeno l’attenzione sulla sua dimostrazione dell’UTF. Dimostrazione che si ispira più a Eulero e alle conoscenze dell’epoca che a strane curve ellittiche!
In praticolare siamo certi che un teorema possa essere dimostrato in più modi, e quindi ribadisco che non si mette in dubbio l’autenticità della dimostrazione di Wiles.
Quello che invece è triste, se non sconcertante, è il silenzio assoluto sull’opera del prof. Andrea Ossicini.
Chiamatelo appello, se volete, ma lascia comunque da pensare!
7 novembre 2007 alle 05:41
Molte grazie per avermi suggerito l’estensione di un teorema di Riemann!
7 novembre 2007 alle 10:18
@Anonimo: è stato un piacere
1 febbraio 2008 alle 07:53
E’ bello vedere che con il tempo le tue passioni continuino ad esistere.Sei forte.
22 novembre 2009 alle 11:11
Piergiorgio Malaguti Dice: Il tuo commento è in attesa di moderazione
Novembre 22, 2009 alle 10:53 am | Replica
L’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT IL TEOREMA DI GALOIS E ILTEOREMA MIRABILIS DI GALLO
Le matematiche pongono spesso sullo stesso piano (in questo caso quello algebrico) teorie rivoluzionarie. Nel caso specifico (algebrico): la Teoria di E.Galois e la TTIE (Teoria delle Trasformazioni delle Identità in Equazioni, 1989)di O. Gallo. E’ però anche vero che, in generale, in matematica sembra che valga il seguente principio paradossale: più grandi e innovative sono le teorie rivoluzionarie, più esse sono incomprensibili ai soliti “Cauchy e Poisson” di turno e osteggiate dai loro contemporanei. Ma è altrettanto vero che mai nessuno di costoro è passato alla storia per aver favorito il progresso: delle matematiche; cosa che capitò, oltre che al genio incompreso di Galois, persino allo stesso K.F. Gauss, solo in seguito definito ipocritamente princeps matheamaticorun. Infatti non fu per puro caso se Gauss decise di ritardare la diffusione delle sue scoperte in matematica e di pubblicare “pauca, sed matura” in risposta al rifiuto opposto da parte dell’Académie Royale de Paris all’ accettazione della sua opera più nota in Teoria dei Numeri, le “Disquisitiones Arithemeticae” , pubblicata a sue spese più tardi (1801)…La matematica è una strana scienza che spesso, oltre a non dare a Cesare quel che è di Cesare , spesso, quasi per un perverso capriccio della sorte, accade che quasi perfidamente il caso (per ritardare il progresso umano?) ponga,come si è verificato in vari momenti della Storia delle Mateamtiche, nelle mani sbagliate armi affilatissime di distruzione istantanea di cultura perenne. I “nuovi Cauchy” e i ” nuovi Poisson” dei nostri tempi ( paradossalmente in nome di un diffuso e diabolico Principio di Conservazione dell’Ignoranza o Principio di Conservazione delle Cattedre Universitarie?) attendono al varco il sorgere di ogni idea innovativa e creativa in campo matematico.
Anche se le armi che brandiscono i nuovi censori dei nostri tempi dislocati nei più impensabili centri di ricerca ( sic!) , ma anche sul web, dove spesso vige un libera dittatura democratica ( di gran voga agli inizi del Terzo Millennio anche in vari paesi democratici del globo terracqueo), da un momento all’altro. inesorabilmente il tempo finisce per incenerire totalmente destinando i loro possessori e le loro effimere censure all’oblio perenne.
Nessuna grande teoria rivoluzionaria in campo matematico sembra abbia mai fatto eccezione in tal senso, soprattutto se opera di un non accademico, quali furono Archimede, Fermat, Abel, Galois …..e qual è lo stesso Onofrio Gallo, autore di un teorema universale (il Teorema Mirabilis di Gallo) che intender non lo può/ chi non lo prova., il quale contiene sia l’Ultimo Teorema di Fermat ( caso diofanteo) sia il Teorema di Galois sui gruppi risolubili (caso algebrico) e che per molti accademici costituisce un gigantesco rospo che è difficile mandar giù d’un solo colpo! Historia non docet?
Aggiornatevi! That’s All Folks!
Piergiorgio Malaguti
22 novembre 2009 alle 11:43
TEOREMA MIRABILIS DI GALLO E ULTIMO TEORMA DI FERMAT
“Pertanto risulterebbe certamente incompleto e , ancor prima di essere pubblicato,qualsiasi libro sull’UTF che non tenesse nel debito conto il TEOREMA MIRABILIS DI GALLO (27 dic. 1993, Roma),
il primo teorema in assoluto che contiene l’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (UTF) come caso particolare delle equazioni diofantee ax^r+by^s =cz^t (per a=b=c=1 ed r=s=t=n)e che a livello generale in modo “originale e diretto” la validità della Congettura di Fermat. Per non dire delle numerosissime applicazioni che lo stesso TEOREMA MIRABILIS DI GALLO consente di effettuare nel campo delle equazioni diofantee, tra cui la risoluzione di numerosi problemi diofantei ritenuti ancora oggi “impossibili”dagli studiosi.
Tra i più semplici citiamo: il calcolo di due lati un triangolo numerico o pitagorico noto solo il terzo lato (senza tentativi, senza radicali e senza l’uso delle frazioni continue), compresi alcuni problemi diofantei affronatati da Ramanujan con l’uso delle frazioni continue (Problema di Strand, somme delle serie divergenti eta e teta, soluzione di equazioni diofantee di tipo polinomiale a due incognite, nelle quali rientrano anche il calcolo delle quaterne di Ramanujan “In quanti modi il numero “del taxi di Hardy” 1729 può esprimersi come somma di due cubi?” ecc)” .
E’ quanto ha osservato il matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946)che ha depositato presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere (Oslo, 2004) sia il suo TEOREMA MIRABILIS sia le sue contenute nella sua memoria: New “Disquisitiones” On The Number Theory. A cura di U. Esposito.
16 dicembre 2009 alle 00:13
VEDI anche
Giovanni Imbalzano’s Storefront:
http://stores.lulu.com/jmbalzan
Estensione dei teoremi di Fermat (libro)
16 dicembre 2009 alle 00:14
@Prof. Giovanni Imbalzano:
OK!
29 gennaio 2010 alle 21:09
EQUAZIONI DI FERMAT- PELL E TEOREMA FPG DI GALLO
In margine alle ricerche sulla dimostrazione diretta dell’UTF, Onofrio Gallo ha affrontato in modo originale anche lo studio delle equazioni Generalizzate di Fermat-Pell che sono del tipo y^k-Nx^k=1, con k>2.
La risoluzione dell’equazione di Fermat Pell (FP/N) y^2-Nx^2=1 ( N intero >0 e non quadrato perfetto)com’è noto si può otteenere mediante le classiche formule del matematico indiano Baskhara II, date da xr+1 = xr y1 +yr ed yr+1 = yry1 +Nxr con r (pedice) intero ≥0 o in modo equivalente mediante le seguenti Formule di Gallo, date da :
x^2= t/(1+N ) ed y^2= ((1+N)+Nt)/(1+N ), con t (intero >0) =x^2+y^2-1= (q^2)(N+1)^2 divisibile per (1+N), e tale che tk+2= (tk+1 – 9)^/ tk con k intero positivo >1, essendo q intero anche nullo.
Esempio numerico. Risolvere la (FP/8) y^2-8x^2=1. Mediante le Formule di Baskhara II, date da xr+1 = xr y1 +yr ed yr+1 = yry1 +Nxr, si ottengono le stesse soluzioni che si ottengono con le Formule di Gallo x^2= t/(1+N ) ed y^2= ((1+N)+Nt)/(1+N ), non considerando la soluzione banale (x, y)=(0, 1), date dalle:
(x1,y1,r1, t1) = (1 ,3 ,0, 9) ; (x, y, r2, t2) = ( 6, 17, 1 ,324) ; (x3, y3, r3, t3) = ( 35, 99 , 2 ,11025); (x4, y4, r4, t4) = ( 204, 577, 3, 374 544); (x5, y5, r5, t5) = (1189, 3363 , 4, 12 728 489); (x6, y6, r6, t6 = (6930, 10601, 5 , 432 224 100), ecc.
Tuttavia con tali formule la convergenza ad un valore approssimato di√8 dell’ordine di 10exp -9 è alquanto lenta richiedendo almeno sette passi per ottenere il valore il valore approssimato cercato dato dalla frazione razionale y7/x7=2,828427125. Dunque il metodo di Bhaskara II o le Formule di Gallo consentono di trovare il valore cercato di √8= 2, 828 427 125 dopo il calcolo di sette soluzioni della (FP/8). Si può fare di meglio? Si, se si ricorre al Teorema FPG/N di Gallo ( risalente al 1994), relativo alle equazioni k- diofantee di Gallo , che sono espresse da equazioni diofantee del tipo (FPG/N) beta^k -N alfa^k = c ( con c intero ed N intero positivo e non potenza k-ma di alcun intero positivo) di grado k >2, delle quali si cercano le soluzioni minime intere positive di Gallo (alfa , beta), tali che si abbia: beta/alfa = N^(1/k) ; e, nel caso k=2, se (x,y) è una soluzione di (FP/N) y^2-Nx^2 =1 tale che y/x= √N, allora, per il Teorema FPG , risulta beta/alfa = y/x= √N, anche se, in generale, risulta (alfa , beta)≠ (x,y). Mediante tale teorema applicato alla stessa equazione (FP/8), al primo passo, si trova la la prima soluzione di Gallo che è anche la soluzione minima intera positiva:
( alfa1 , beta1) = ( 939 524 096, 2 657 375 437) che approssima √8 con il valore beta/ alfa = 2, 828427124 = y6/x6, mentre la soluzione successiva di Gallo è ( alfa 2 , beta2) = ( 7 516 192 768, 21 259 003 500) che approssima √8 con il valore cercato beta2/ alfa2= 2, 828427124 = y7/x7.
Dunque in soli due passi (Metodo di Gallo) , in luogo di sette passi (Metodo di Bhaskara II), si ottiene un’approssimazione con nove cifre decimale esatte di √8.
In generale mediante il Teorema FPG di Gallo, applicato alla (FP/N), caso k=2,è possibile calcolare immediatamente le soluzioni minime intere positive, ignote non solo ai vari Fermat, Lagrange, Eulero ed altri, ma anche ai matematici odierni, come, ad esempio, le soluzioni minime intere positive delle due equazioni proposte da Fermat a Frénicle per corrispondenza nel 1657, come riportò il matematico francese A. Weil nel libro Number Theory ( tr, it. Teoria dei Numeri , Ed. Einaudi, 1993, pp. 89-90), il quale da parte sua, come Dickson, non aggiunse una virgola su tale argomento a quanto già noto.
Pertanto, alla luce di quanto esposto, sembra che il creato intorno a matematici come Fermat, Lagrange, Eulero, e al metodo di Bhaskara II (114-1185), il Maestro,detto metodo Jaeyadeva-Bhaskara o metodo cavrakala o ciclico o metodo della ruota(cavra significa ruota) o metodo Kuttaka ( dal verbo kutt = schiacciare, tritare, macinare, polverizzare, che i Cinesi chiamavano “ Ta yen”), sia destinato a tramontare.
Le equazioni proposte da Fermat erano relative , dice Weil nel suo Number Theory (tr.it. Teoria dei Numeri, Einaudi,1993, pp.89-90):
“…ai casi N=61 e N=109, aggiungendo (in modo fuorviante, e forse con malizia) di avere scelto numeri abbastanza piccoli ( ); egli doveva sapere, naturalmente, che le più piccole soluzioni di questi due casi sono rispettivamente:
(1 766 319 049, 226 153 980) e (158 070 671 986 249, 15 140 424 455 100) e proprio per questa ragione scelse i valori 61 e 109”. Per dare un’idea della potenza applicativa del Teorema FPG di Gallo, il matematico Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, in Valle Caudina) nel suo Codex Cervinarensis riporta le seguenti soluzioni minime delle seguenti equazioni generalizzate di Ferrmat –Pell. calcolate con l e corrispondenti frazioni razionali di Gallo (beta/alfa) ottenute come soluzioni di Gallo delle equazioni k-diofantee di Gallo:
per N= 401, (FP/401) y^2-401x^2 =1, soluzione minima di Gallo beta/alfa =312 343 639/15 597 697 =√401=16, 031 219 54; per N=61 (FP/61) y^5-61x^5 =1, soluzione minima di Gallo beta/alfa =20 844 608 069/916 132 832 per cui 61^(1/5)=2, 275 443 032; per N =7 (FP/7) y^6- 7x^6 =1, soluzione minima di Gallo beta/alfa =3 764 363 347/2 951 578 712 per cui 7^(1/6)=1,275 373 107 per limitarci solo ad alcuni degli innumerevoli riportati nell’opera citata. Il calcolo delle soluzioni minime delle Equazioni Generalizzate di Fermat -Pell di grado superiore al secondo (k>2) era sconosciuto prima della nascita del Torema FPG di Gallo. A cura di Umberto Esposito.
1 febbraio 2010 alle 21:34
IL PROBLEMA DI STRAND: Un’ APPLICAZIONE DEL TEOREMA MIRABILIS DI GALLO Le ricerche che condussero il matematico Onofrio Gallo alla prima (1993) originalissima dimostrazione diretta dell’Ultimo Teorema di Fermat condussero, com’ è noto, lo stesso autore a scoprire sia il Teorema Mirabilis relativo alla equazione di Fermat (F) x^n +y^n=z^2 (n>2) sia alla sua generalizzazione alle equazioni diofantee del tipo (FF) (F) ax^r+by^s=z^t (r,s,t interi positivi >2). Il famoso Problema di Strand, risolto da Ramanujan, ancora una volta, con l’uso delle frazioni continue è rappresentato dall’equazione diofantea non lineare (S) 2x^ 2+4x-y ^2-y=-2
che è un caso particolare dell’equazione generale di Gallo (SG) 2x^2 – y^2 + 4x- y = m^2 – m – 2 (m=0) che risolve tale categoria di problemi relativi ad un numero naturale non nullo n variabile nell’intervallo discreto finito dei naturali (1, r), in modo che la somma dei numeri alla sinistra di n risulti uguale alla somma dei numeri posti alla destra di n:
L’ equazione (S) si risolve con l’uso del Teorema Mirabilis di Gallo, come mostreremo subito, senza radicali, senza tentativi e senza l’uso delle frazioni continue, usando le due Funzioni Generali di Simmetria di Gallo di gradi 2 ed 1 rispetto ad x ed y:
FF(x,y) = (-2-2(2×2+4x-y ^2-y)) ( a meno di un fattore inessenziale, omesso per maggior chiarezza), , da cui si ottengono le due sottofunzioni di simmetria di Gallo per x=x j, cioè:
F(x h) =i h = (-2-2(2x h^2+4x h))
F(yk) = i k =(-2-2( -yk^ 2-y k))
Le soluzioni dell’equazione (S) sono le xh e le yk, tali che
F(xh ) = -F(yk ) ( h e k sono pedici)
Siccome le x j variano tra 51 e 499 , per x h = 203, essendo F(203)= -166462 e, per y k=288, essendo F(288)= +166462, ne segue che la soluzione del problema è x+1=203+1=204.
Ma qual era il Problema di Strand, rappresentato dalla (S)?
Il numero di dicembre 1914 della rivista STRAND riportava uno strano problema che un amico indiano di Ramanujan, un certo P.C. Mahalanobis stava cercando di risolvere, seduto con la rivista a un tavolo dell’appartamento del grande matematico indiano a Cambridge, dove lavorava insieme a G.H.Hardy e J. Littlewood.
Tra tentativi ed errori, dopo alcuni minuti, Mahalanobis riuscì a risolvere il problema col quale era alle prese.
Letto il testo del problema a Ramanujan, questi ne dettò subito la soluzione all’amico sbalordito: l’aveva ottenuta con le frazioni continue. Ed ecco il problema:
“ L’altro giorno, diceva un tale W.Rogers agli altri abitanti del villaggio raccolti intorno al fuoco, stavo parlando con un
gentiluomo di Leuven (Lovanio, in Belgio), che i tedeschi hanno dato alle fiamme.
Diceva di conoscerlo bene, quel luogo…Ci andava a trovare un amico belga.
Disse che la casa dell’amico era in una lunga strada, le cui case su quel lato della strada erano numerate 1,2,3,..e così via.Disse che la somma di tutti i numeri su un lato (a sinistra) di casa sua dava esattamente lo stesso risultato della somma di tutti i numeri sull’altro lato della strada ( a destra) di casa sua.
Che cosa strana! Disse di sapere che c’erano più di 50, ma meno di 500 case su quel lato della strada.
Ho parlato della cosa con il nostro parroco e lui ha preso un lapis e ha trovato il numero civico della casa in cui viveva il belga.Non so come abbia fatto”
Indicando con …51, 52,…,x, (x+1), (x+2),…,y,……….,499
la successione dei numeri civici tra i quali si trova la soluzione x+1, basta imporre l’uguaglianza:
(1+x)x/2= (x+2+ y)[y –(x+1)]/2.
Da cui si ottiene la risolvente (S), che si risolve come indicato.
Il problema è stato risolto, per la prima volta senza l’uso delle frazioni continue o delle equazioni di Pell, unicamente “ per simmetria”, dal matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, in Valle Caudina)e contenuto nel suo CODEX CERVINARENSIS. cura di Umberto Esposito
Scritto da : umberto esposito | 27/12/2009
Il Problema di Strand
Il famoso Problema di Strand, risolto da Ramanujan, ancora una volta, con l’uso delle frazioni continue è rappresentato dall’equazione diofantea non lineare (S) 2x^ 2+4x-y ^2-y=-2
che è un caso particolare dell’equazione generale di Gallo (SG) 2x^2 – y^2 + 4x- y = m^2 – m – 2 (m=0) che risolve tale categoria di problemi relativi ad un numero naturale non nullo n variabile nell’intervallo discreto finito dei naturali (1, r), in modo che la somma dei numeri alla sinistra di n risulti uguale alla somma dei numeri posti alla destra di n:
L’ equazione (S) si risolve con l’uso del Teorema Mirabilis di Gallo, come mostreremo subito, senza radicali, senza tentativi e senza l’uso delle frazioni continue, usando le due Funzioni Generali di Simmetria di Gallo di gradi 2 ed 1 rispetto ad x ed y:
FF(x,y) = (-2-2(2×2+4x-y ^2-y)) ( a meno di un fattore inessenziale, omesso per maggior chiarezza), , da cui si ottengono le due sottofunzioni di simmetria di Gallo per x=x j, cioè:
F(x h) =i h = (-2-2(2x h^2+4x h))
F(yk) = i k =(-2-2( -yk^ 2-y k))
Le soluzioni dell’equazione (S) sono le xh e le yk, tali che
F(xh ) = -F(yk ) ( h e k sono pedici)
Siccome le x j variano tra 51 e 499 , per x h = 203, essendo F(203)= -166462 e, per y k=288, essendo F(288)= +166462, ne segue che la soluzione del problema è x+1=203+1=204.
Ma qual era il Problema di Strand, rappresentato dalla (S)?
Il numero di dicembre 1914 della rivista STRAND riportava uno strano problema che un amico indiano di Ramanujan, un certo P.C. Mahalanobis stava cercando di risolvere, seduto con la rivista a un tavolo dell’appartamento del grande matematico indiano a Cambridge, dove lavorava insieme a G.H.Hardy e J. Littlewood.
Tra tentativi ed errori, dopo alcuni minuti, Mahalanobis riuscì a risolvere il problema col quale era alle prese.
Letto il testo del problema a Ramanujan, questi ne dettò subito la soluzione all’amico sbalordito: l’aveva ottenuta con le frazioni continue. Ed ecco il problema:
“ L’altro giorno, diceva un tale W.Rogers agli altri abitanti del villaggio raccolti intorno al fuoco, stavo parlando con un
gentiluomo di Leuven (Lovanio, in Belgio), che i tedeschi hanno dato alle fiamme.
Diceva di conoscerlo bene, quel luogo…Ci andava a trovare un amico belga.
Disse che la casa dell’amico era in una lunga strada, le cui case su quel lato della strada erano numerate 1,2,3,..e così via.Disse che la somma di tutti i numeri su un lato (a sinistra) di casa sua dava esattamente lo stesso risultato della somma di tutti i numeri sull’altro lato della strada ( a destra) di casa sua.
Che cosa strana! Disse di sapere che c’erano più di 50, ma meno di 500 case su quel lato della strada.
Ho parlato della cosa con il nostro parroco e lui ha preso un lapis e ha trovato il numero civico della casa in cui viveva il belga.Non so come abbia fatto”
Indicando con …51, 52,…,x, (x+1), (x+2),…,y,……….,499
la successione dei numeri civici tra i quali si trova la soluzione x+1, basta imporre l’uguaglianza:
(1+x)x/2= (x+2+ y)[y –(x+1)]/2.
Da cui si ottiene la risolvente (S), che si risolve come indicato.
Il problema è stato risolto, per la prima volta senza l’uso delle frazioni continue e per simmetria, dal matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, in Valle Caudina)e contenuto nel suo CODEX CERVINARENSIS. cura di Umberto Esposito
7 febbraio 2010 alle 17:48
TEOREMA GENERALE DI GALLO SULLA RISOLUBILTA’ PER RADICALI Sia (En) anx^n+ an-1 x^(n-1)+……+a1x+a0 =0 l’equazione algebrica generale di grado n con ai reali non nulli (i=0,1,…,n) con n intero>0. Se xG = (-a0/an )^(1/n) è la “pseudosoluzione di Gallo” della (En), allora,definiamo residuo nullo di Gallo la relazione nulla tra i coefficienti della (En) che si ottiene da F(xG)=0 . Ciò posto, sussiste il seguente: TEOREMA GENERALE DI GALLO SULLA RISOLUBILTA’ PER RADICALI(1996) “L’equazione algebrica generale (En) anx^n+ an-1 x^(n-1) +……+a1x+a0 =0, di grado n con ai reali non nulli (i=0,1,…,n) e con n intero (finito)>0, è “risolubile per radicali”, se, e solo se, la serie composta dalle n-1 equazioni algebriche che da essa si ottengono, di gradi k=1,2,…,n-1, sono tali che: a) per k dispari >1, il residuo di Gallo F(xG)=0 non contiene radicali di indici k ; b) per k pari il residuo di Gallo F(xG)=0 contiene radicali di indici k.”
Per n=1 è sufficiente che la (E1) a1x+a0=0 non contenga radicali di indici k>1. Il che è ovvio, in quanto k =n-1 1.La formula risolutiva della (E1) ax+b=0 (forma senza indici della (E1))è (FA/1) x1= -b/a .
Per n=2 la (E2) a2×2+ a1 x1+a0 =0 è tale che, essendo xG= xG= -a0/a2, risulta F(xG)=0 equivalente alla a2 (-a0/a2)+ a1 (-a0/a2)^1/2+a0 =0 , da cui a1 (-a0/a2)^1/2 =0 che contiene un radicale di indice k=2=n, mentre la sua ridotta di grado k=1 ovviamente contiene un radicale di indice k=1, ma essendo k=1, la condizione a) è soddisfatta. Essendo soddisfatta anche la condizione b), se ne deduce che la (E2) è risolubile per radicali. Infatti la formula risolutiva della (E2) ax2+ b x1+c =0 (forma senza indici della (E2)) è la (FA2) x1.2= (-b/2a)± ( (a^2 –4 bc)/4a)^1/2 ( forma semplice o senza indici ) Per n=3 la (E3) a3×3 +a2×2+ a1 x1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/3a3)^1/3 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a3(-a0/a3)+ a2 (-a0/a3)^2/3+ a1 (-a0/a3)^1/3+a0 =0 da cui a2 (-a0/a3)^2/3+ a1 (-a0/a3)^1/3=0 che risulta equivalente alla a0a2 ^3 –a3a1^3=0 che non contiene radicali di indice n=3. E quindi, poiché la serie di equazioni algebriche (E2) , (E1) , di gradi k<3, verifica le a) e b) del Teorema Generale di Gallo sui residui nulli, si ha che la (E3) è “risolubile per radicali”. La radice reale x1 della (E3) si ottiene con la classica formula di Cardano che qui riportiamo riferita alla equazione completa di terzo grado (E3) ax3 +bx2+ c x1+d=0 (forma senza indici della (E3)) nella forma x1= – b/3a +H^1/3 +K^1/3, con H=A+ (A +B)1^2 e con K = A- (A+B)^1/2; con A =((-b^3)/27a^3) + (bc/6a^2) – (d/2a); con B=(c/3a)-(b^2/9a^2).Le altre due soluzioni x2,3 si ottengono medainte la risolvente di secondo grado che si ottiene a partire dala (E3), mediante, ad esempio, la Regola di Ruffini. Per n=4 la (E4) a4×4 + a3×3 +a2×2+ a1 x1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/a4)^1/4 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a3(-a0/a4)^2/4 + a2 (-a0/a4)^1/4+ a1 =0 che contiene due radicali di indice n=4. E quindi, poiché la serie di equazioni (E3), (E2) , (E1) , di gradi k<4, verifica le a) e b) del Teorema Generale di Gallo sui residui nulli, si ha che la (E4) è “risolubile per radicali”. Le radici della (E4) si ottengono con la classiica formula di Ferrari che qui riportiamo riferita alla equazione completa di quarto grado (E4) ax4 +bx3+ c x2+dx +e=0 (forma senza indici della (E4)) data da xi= (- b/4a ) +yi ( i=1,2,3,4), con y1,2 soluzioni di y2+Ey +(A+D-EB)4D=0 e con y3,4 soluzioni di y2-Ey +(A+D+EB)4D =0; con A=(c/2a)- 3b^2/16a^2; B= (bc/2a^2)-(d/a)- b^3/8a^3; C= /3b^4/256a^4)-(b2c/16a^3)+(db/4a^2) –c/a ; con D soluzione reale dell’equazione 8f^3 +16 Af^2 +8(^2 +C)f –B^2=0 e con E= (2D)^1/2, essendo f tale che (y^2 +A+f)^2 =2fy^2 +By +(f^2 +2Af +A^2 +C) , per il che è sufficiente che sia B^2 -8f(f^2 +2Af +A^2 +C)=0.
Per n=5 la (E5) a4×4 + a3×3 +a2×2+ a1 x1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/a5)^1/5 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a4(-a0/a5)^3/5 + a3 (-a0/a5)^2/5+ a2(-a0/a5)^1/5 +a1=0, che contiene TRE radicali di indice n=5. E quindi, nonostante la serie di sottoequazioni algebriche (E4), (E3), (E2) , (E1) , di gradi k5 le equazioni algebriche di grado n , a loro volta, NON sono risolubili per radicali, in quanto per ogni k>5 nella serie di sottoequazioni algebriche (E1),(E2),(E3),(E4),(E5)….,(Ek-1), associata alla generica equazione algebrica generale di grado k minore o uguale ad n (>4) è sempre presente la (E5) che, non essendo risolubile per radicali, implica che la generica (En) per n>4 non è risolubile per radicali. Si tratta dello stesso risultato espresso mediante il classico TEOREMA DI RUFFINI-ABEL (Per n>4 le equazioni algebriche generali di grado n non sono risolubili per radicali), ma ottenuto in modo, oltre che più chiaro e più semplice, soprattutto più immediato sulla base del concetto di “residuo di Gallo”. Sintesi dal Codex Cervinarensis del matematico Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, in Valle Caudina). A cura di Umberto Esposito.
2 marzo 2010 alle 13:41
SISTEMI DI 3 EQUAZIONI IN 3 INCOGNITE- FORMULE DI GALLO Riportiamo qui le Formule di Gallo relative ai sistemi di tre equazioni lineari in tre incognite, scoperte nel 1994 dal matematico Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) e che appaiono, per la prima volta nella Storia della Matematica, nel suo Codex Cervinarensis. Tali formule sono una conseguenza immediata del seguente Teorema del parametro fisso di Gallo : “ Se (S) ai x+bi y +ci z = di (i=1,2,3) è un sistema di tre equazioni nelle tre incognite x,y,z ( con bi diverso da ci per ogni i=1,2,3), posto Ai=di –aix (i=1,2,3), allora le soluzioni delle tre equazioni lineari “zippate” di Gallo biyi +ciz= Ai (i=1,2,3) sono date dalle formule di Gallo y= ((Ai –ci) –ci ti)/(bi-ci) e z= ((bi-Ai) +biti)/(bi-ci) (i=1,2,3) e , qualunque sia i =1,2,3, risulta ti =t fisso= y+z-1” . Pertanto le FORMULE DI GALLO relative al sistema (S) di tre equazioni in tre incognite, che qui scriviamo in forma esplicita, che si ottengono a partire dalla prima equazione di (S) a1x +b1y+c1z=d1 ; a2x+b2y+c2z=d2 ; a3x+b3y+c3z=d3 , posto M= c1(b2-c2)-c2(b1-c1); P=M +d2(b1-c1)-d1(b2-c2); R=a2(b1-c1) – a1(b2-c2); N= c1(b3-c3)-c3(b1-c1); Q= N+d3(b1-c1)-d1(b3-c3); S=a3(b1-c1)-a1(b3-c3), con A1= d1-a1x e con t= y+z-1= (QR-PS)/(MS-RN); sono date dalle x= (P+Mt)/R = (Q+Nt)/S; y= ((A1-c1)-c1t)/(b1-c1); z=((b1-A1) +b1t)/(b1-c1). Le formule di Gallo consentono di evitare d’ora in poi, con grande gioia degli studiosi e degli studenti, di risolvere i sistemi di tre equazioni in tre incognite con uno dei soliti metodi tradizionali (compreso il ben noto metodo che fa uso della Regola di Sarrus, che coinvolge il calcolo di due determinanti del terzo ordine). E’ chiaro che se x,y,z sono non lineari le formule stabilite sono ugualmente valide. Riportiamo due esempi numerici. ESEMPIO N1 Risolvere il sisetma (S1) 2x+5y-z=21; x+3y-2z=5; 3x+2y-2z=7. Risultando M=7; P= -68; R=-4; N=8; Q= -34: S=10 , otteniamo t=8 ed x=3 , per cui A1=15 e quindi y=4 e z=5. ESEMPIO N2 Risolvere il sistema(S2) 3x+5y-7z=-9; 2x-3y+4z=16; 5x-2y+z=15. Risultando M=1; P=-130; R=-45; N=9; Q=-162: S=69 , otteniamo t=5 ed x=3 , per cui A1=-18 e quindi y=2 e z=4. A cura di Umberto Esposito