L’uomo che amava solo i numeri
mercoledì 5 marzo 2008
Paul Hoffman, all’età di trent’anni, incontra Paul Erdös, una delle menti geniali del nostro secolo. In questo libro si ripercorre la storia di Erdös e della matematica, degli uomini, dei colleghi e degli amici di “uno strano tipo” dall’aspetto trasandato, incapace di vivere la sua esistenza senza essere accudito da qualcuno, ossessionato dalla matematica: la sua matematica. Tuttavia Erdös è un personaggio generoso, attento alle persone che lo circondano forse perché con loro, e solo con loro, può parlare continuamente di matematica.
Erdös è stato ospitato a casa di matematici in tutto il mondo, continuamente alla ricerca di nuovi teoremi e nuove sfide da affrontare insieme a tutta la comunità matematica, pronto soprattutto a spronare e consigliare gli altri matematici a lavorare su nuovi teoremi ed affrontare nuove sfide. Le tre ore di sonno sono sufficienti al genio instancabile, che teneva convegni di matematica anche quando fu ricoverato in ospedale per problemi di cuore, il tutto con più matematici e su più argomenti contemporaneamente e in diverse lingue. Tenace, energico, impaziente di tuffarsi a discutere del suo – unico – grande amore: la matematica.
Alle quattro del mattino, quando svegliava i suoi ospiti, nessun «buon giorno» o «Come va?» era previsto nel suo vocabolario, bastava un «Sia n un numero intero positivo, data la funzione f(x)…».
Questo è un esempio della varietà umana. È inutile parlare di genio o di folle, in entrambi i casi si sminuisce qualcosa di più profondo. Potremmo parlare di completa dedizione. Erdös non viveva nel nostro piano oggettivo, non ragionava – evidentemente – come noi. Miseri, a volte, siamo apparsi ai suoi occhi e il mistero di quello che lui vedesse realmente lo ha portato con se. Perché un genio dovrebbe tagliare un frutto con la parte non-tagliente del coltello? Quale effettivo concetto della realtà aveva egli che noi non possediamo?
Il libro si dimostra abbastanza ricco di spunti da permettere al lettore una comprensione migliore di questi fenomeni. I riferimenti matematico-tecnici sono in giusta proporzione e alla portata di tutti, interessanti a tal punto che dovrebbero essere annotati e fonte di stimolo per ulteriori ricerche. Nulla è più ignoto e avvolgente della Teoria dei Numeri, e Erdös si era fatto avvolgere completamente. Dalle pagine traspare una figura di un uomo a volte assente, difficile da ricondurre alla totalità delle persone normali. Una domanda che potremmo porci è quanto è raro uno stato di ipnosi – così profondo e radicato – come quello di Erdös? Possibile che i cosiddetti geni si contino sulle dite delle mani?
Paul Hoffman ha diretto la rivista «Discover» e attualmente collabora alla realizzazione di serie televisive di argomento scientifico. Ha scritto dieci libri, tra cui La vendetta di Archimede: gioie e insidie della matematica (Bompiani, 1990). Con L’uomo che amava solo i numeri nel 1999 ha vinto il prestigioso premio Rhone-Poulens. Vive a Chicago e a Woodstock.
20 giugno 2010 alle 11:04
NUMERI PERFETTI –FORMULE E TEOREMI DI GALLO
Fin dall’antichità è noto un teorema di Euclide relativo ai cosiddetti numeri perfetti: si dice perfetto ogni numero intero positivo n che risulti uguale alla somma di tutti i suoi divisori propri ( incluso 1 ed escluso n), ad esempio 6=1+2+3 è il primo numero perfetto.
Il Teorema di Euclide afferma:
“ Se Pn = 2^(n-1))*((2^n) -1) e se il fattore (2^n) -1) è primo, allora Pn è perfetto”
Per n=2 P1=6
Per n=3 P2=28
Inoltre P3= 496( per n=5); 4=8128( per n=7)…
Per n>7 il calcolo di Pn diventa laborioso
Solo nel 1300 si scoprì P5= 33 550 336
Il teorema precedente è equivalente al seguente
Teorema di Euclide.
“ Se p=1+2^1+2^2+2^3+…+2^n è primo, allora Pn=2np è un numero perfetto”
Per n=1, si ha p =3 , per cui P1=2*1*3=6; per n=2 si ha p=7, per cui P2=2*2*7=28 ecc.
I due precedenti teoremi di Euclide sono equivalenti al seguente:
Teorema di equivalenza di Gallo:
“ Se n è un numero intero>0 e se k=( 2^ (n+1)) -1 è primo, allora il numero triangolare p’= k(k+1)/2=(1+ 2+3+…..+ k ) è un numero perfetto”
Per n=1 k=3 (primo) e p’= (1+2+3)=6=P1 è perfetto
Per n=2 k=7 è primo e p’= (1+2+….+7)=28 =P2è perfetto
per n=3 k=15 non è primo
per n=4 k=31 (primo) e p’= (1+2+…+31)= 496=P3 è perfetto
per n=5 k= 63 non è primo
per n=6 k=127 e p’= (1+2+…..+127)= 127(1+127)/2= 8128=P4 è perfetto
per n=7 k=255 non è primo
per n =8 k= 511 non è primo
per n=9 k=1°23 non è primo
per n= 10 k=2047 non è primo
per n=11 k=8191 è primo e p’=(1+2+…+8191)= 33 550 336 =P5è perfetto
…………………………….
Per n=16 k=131071 è primo e p’=(1+2+….+131071)= =8 589 869 056=P6 è perfetto
Per n=18 k=524287 è primo e
p=(1+2+…+524287)=137 438 691 328=P7 è perfetto;
il successivo numero perfetto si trova per n=31 per cui
k= 2 147 483 647 è primo e p=(1+2+…+k)= 2 305 843 008 139 952 128 ( 19 cifre)=P8 è perfetto; e così via.
La seguente “formula di Gallo” (PG) ( 2^(n -1))*( (2n )+1)) -2^n per ogni n tale che (2^n) – 1 sia primo, genera numeri perfetti, come si desume dalla seguente tabella.
n (2^n) – 1 (primo) Pk
2 3 6
3 7 28
5 31 496
7 127 8128
13 8191 33 550 336
17 131071 8 589 869 056
E così via….
Le prime tre coppie di numeri perfetti fornite dalla (PG) sono:
(6, 28); (496, 8128) ; (33550336, 589869056) ,ecc.
La formula (PG) di Gallo deriva dalla componente P1 della soluzione generale di Gallo dell’equazione
(1+ 2^(n-1))P1 + 2^(n-1) P2 =2^(2n-1) -2^(n-1)
Infatti risulta: PG1= {2^(2n-1) -2(2^(n-1))] – t*2^(n-1) , che, per t=-1, dà la formula (PG) di Gallo.
La componente P2 della formula(PG) di Gallo fornisce i valori simmetrici di P1.
I successivi numeri perfetti sono i seguenti:
137 438 691 328 (12 cifre)
2 305 843 008 139 952 128 ( 19 cifre)
Se indichiamo con xi (i =1,2, 3, 4, 5) gli altri 5 successivi (che qui non riportiamo) essi sono composti rispettivamente da 37, 54, 65, 77, 314 cifre.
Escluso il primo, gli altri numeri perfetti sono uguali alla somma dei cubi dei numeri dispari consecutivi, a partire da 1.
Esempi
28= 1^3 +3^3
496= 1^3 + 3^3 +5^3 +7^3
8128= 1^3 +3^3+ 5 ^3+7^3 +……+15^3 (8 dispari consecutivi) ecc..
Quindi i numeri perfetti ( ecluso il 6 )si possono esprimere come segue:
x^3+y^3= 28 ( con x=1 , y=3)
x^3 +y^3 +z^3 +k^3=496 ( con x=1; y=3; z=5 , k=7)
x1^3+x2^3+…..+x8^3 = 8128 ( con x1=1, x2=3,…..x8=15) ecc..
E’ anche possibile ottenere infiniti numeri primi servendosi della seguente
Congettura Gk di Gallo:
“ Se k≠4r, 6r, 7r , con k,r interi >0, allora la formula di Gallo:
Gk = 3+2* (2^(k-1))Pk-1 +2*(2^k) Pk
con ( Pk-1 , Pk) =( 6, 28) numeri perfetti genera infiniti numeri primi con cifre finali 7, 1, 9 ”.
Per k=1 si haG1=127
per k=2 si ha G2=251
per k=3 si ha G3=499
per k=5 si ha G4=1987
per k=9 si ha G5=31747 non primo
per k=10 si ha G6=63491 non primo
per k=11 si ha G7=126979 non primo
per k=13 si ha G8 =507 907
per k=15 si ha G9= 1 933 315 non primo
per k=17 si ha G10= 7 364 611 ecc…
Tra gli altri risultati che figurano nel Codex Cervinarensis sui numeri perfetti spicca il seguente
TEOREMA PRF DI GALLO (oTEOREMA FONDAMENTALE DI GALLO SUI NUMERI PERFETTI) (12/01/2007)
“Se Pk (k=1,2,3,…) è il k-mo numero perfetto, allora, per k>1, sussiste la formula di Gallo Pk= Pk-1*(A^s)-B*9^r, essendo B intero positivo ed A una potenza di base 19 se k è dispari e di base 37 se k è pari”
Le “basi di Gallo” 19 e 37 si ottengono dal primo numero perfetto 6 aumentato di 13 (=19) ed aumentato di 31 (=37), essendo 13 e 31 simmetrici rispetto alle loro cifre; oppure a partire dal secondo numero perfetto 28, risultando 28 elemento centrale tra 19 e 37, e quindi per simmetria 19=28-9 e 37=28+9.
La “concatenazione” tra il numeri perfetti Pk e il suo precedente Pk-1, espressa dalla formula di Gallo che figura nel suo teorema fondamentale sui numeri perfetti, viene qui riportata per la prima volta nella Storia delle Matematiche e sicuramente essa è sempre sfuggita ai matematici precedenti.
Verifichiamo il Teorema PRF di Gallo .
P1=6
P2=28= P1* (A^s) –(9^r)B con A=37, s=6 ; r=1; B=1 710 484 270
P3=496= P2*(A^s)- (9^r)B con A=19, s=1; r=1; B=4
P4=8 128= P3*(A^s)-(9^r)B con A=37, s=1; r=1; B= 1136
P5= 33 550 336= P4*(A^s) -(9^r)B con A=19, s=3; r=1; B= 2 466 624
P6= 8 859 869 056 = P5*(A^s) -(9^r)B con A=37, s=2; r=1; B= 4 118 948 992
P7= 137 438 691 328 = P6*(A^s) -(9^r)B con A=19, s=1; r=2; B= 381 466 923
P8= 2 305 843 008 139 952 128 = P7*(A^s) -(9^r)B con A=37, s=4; r=9; B= 5 286 919 073
P9=…. = P8*(A^s) -(9^r)B con A=19, s=15; r=29; B= 6 867 506 539
P10= ….= P9*(A^s) -(9^r)B con A=37, s=12; r=49; B= 302 264 515 ecc.
Sintesi dal Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina). A cura di U. Esposito per gentile concessione dell’Autore.